다음을 풀어보세요: 5x^2+21x+4=0

$$5 x ^ { 2 } + 21 x + 4 = 0$$

x에 대한 해

$$x=-4$$

$$x=-\frac{1}{5}=-0.2$$

그룹화를 통한 인수 분해 사용 단계

수식을 계산하려면 그룹화를 통해 왼쪽을 인수 분해합니다. 우선 왼쪽을 5x^{2}+ax+bx+4(으)로 다시 작성해야 합니다. a 및 b를 찾으려면 해결할 시스템을 설정 하세요.

$$a+b=21 ab=5\times 4=20$$

ab은 양수 이기 때문에 a 및 b는 동일한 기호를가지고 있습니다. a+b은 양수 이기 때문에 a 및 b 모두 양수입니다. 제품 20을(를) 제공하는 모든 정수 쌍을 나열합니다.

$$1,20 2,10 4,5$$

각 쌍의 합계를 계산합니다.

$$1+20=21 2+10=12 4+5=9$$

이 해답은 합계 21이(가) 도출되는 쌍입니다.

$$a=1 b=20$$

5x^{2}+21x+4을(를) \left(5x^{2}+x\right)+\left(20x+4\right)(으)로 다시 작성합니다.

$$\left(5x^{2}+x\right)+\left(20x+4\right)$$

첫 번째 그룹 및 4에서 x를 제한 합니다.

$$x\left(5x+1\right)+4\left(5x+1\right)$$

분배 법칙을 사용하여 공통항 5x+1을(를) 인수 분해합니다.

$$\left(5x+1\right)\left(x+4\right)$$

수식 솔루션을 찾으려면 5x+1=0을 해결 하 고, x+4=0.

$$x=-\frac{1}{5} x=-4$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$5x^{2}+21x+4=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 5을(를) a로, 21을(를) b로, 4을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-21±\sqrt{21^{2}-4\times 5\times 4}}{2\times 5}$$

21을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-21±\sqrt{441-4\times 5\times 4}}{2\times 5}$$

-4에 5을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-21±\sqrt{441-20\times 4}}{2\times 5}$$

-20에 4을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-21±\sqrt{441-80}}{2\times 5}$$

441을(를) -80에 추가합니다.

$$x=\frac{-21±\sqrt{361}}{2\times 5}$$

361의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-21±19}{2\times 5}$$

2에 5을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-21±19}{10}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{-21±19}{10}을(를) 풉니다. -21을(를) 19에 추가합니다.

$$x=-\frac{2}{10}$$

2을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{-2}{10}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x=-\frac{1}{5}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{-21±19}{10}을(를) 풉니다. -21에서 19을(를) 뺍니다.

$$x=-\frac{40}{10}$$

-40을(를) 10(으)로 나눕니다.

$$x=-4$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=-\frac{1}{5} x=-4$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$5x^{2}+21x+4=0$$

수식의 양쪽에서 4을(를) 뺍니다.

$$5x^{2}+21x+4-4=-4$$

자신에서 4을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$5x^{2}+21x=-4$$

양쪽을 5(으)로 나눕니다.

$$\frac{5x^{2}+21x}{5}=-\frac{4}{5}$$

5(으)로 나누면 5(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\frac{21}{5}x=-\frac{4}{5}$$

x 항의 계수인 \frac{21}{5}을(를) 2(으)로 나눠서 \frac{21}{10}을(를) 구합니다. 그런 다음 \frac{21}{10}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}+\frac{21}{5}x+\left(\frac{21}{10}\right)^{2}=-\frac{4}{5}+\left(\frac{21}{10}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 \frac{21}{10}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}+\frac{21}{5}x+\frac{441}{100}=-\frac{4}{5}+\frac{441}{100}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 -\frac{4}{5}을(를) \frac{441}{100}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x^{2}+\frac{21}{5}x+\frac{441}{100}=\frac{361}{100}$$

인수 x^{2}+\frac{21}{5}x+\frac{441}{100}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x+\frac{21}{10}\right)^{2}=\frac{361}{100}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x+\frac{21}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{100}}$$

단순화합니다.

$$x+\frac{21}{10}=\frac{19}{10} x+\frac{21}{10}=-\frac{19}{10}$$

수식의 양쪽에서 \frac{21}{10}을(를) 뺍니다.

$$x=-\frac{1}{5} x=-4$$