다음을 풀어보세요: 5m^2-14m-15=0

$$5 m ^ { 2 } - 14 m - 15 = 0$$

m에 대한 해

$$m = \frac{2 \sqrt{31} + 7}{5} \approx 3.627105745$$

$$m=\frac{7-2\sqrt{31}}{5}\approx -0.827105745$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$5m^{2}-14m-15=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 5을(를) a로, -14을(를) b로, -15을(를) c로 치환합니다.

$$m=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 5\left(-15\right)}}{2\times 5}$$

-14을(를) 제곱합니다.

$$m=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 5\left(-15\right)}}{2\times 5}$$

-4에 5을(를) 곱합니다.

$$m=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-20\left(-15\right)}}{2\times 5}$$

-20에 -15을(를) 곱합니다.

$$m=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196+300}}{2\times 5}$$

196을(를) 300에 추가합니다.

$$m=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{496}}{2\times 5}$$

496의 제곱근을 구합니다.

$$m=\frac{-\left(-14\right)±4\sqrt{31}}{2\times 5}$$

-14의 반대는 14입니다.

$$m=\frac{14±4\sqrt{31}}{2\times 5}$$

2에 5을(를) 곱합니다.

$$m=\frac{14±4\sqrt{31}}{10}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 m=\frac{14±4\sqrt{31}}{10}을(를) 풉니다. 14을(를) 4\sqrt{31}에 추가합니다.

$$m=\frac{4\sqrt{31}+14}{10}$$

14+4\sqrt{31}을(를) 10(으)로 나눕니다.

$$m=\frac{2\sqrt{31}+7}{5}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 m=\frac{14±4\sqrt{31}}{10}을(를) 풉니다. 14에서 4\sqrt{31}을(를) 뺍니다.

$$m=\frac{14-4\sqrt{31}}{10}$$

14-4\sqrt{31}을(를) 10(으)로 나눕니다.

$$m=\frac{7-2\sqrt{31}}{5}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$m=\frac{2\sqrt{31}+7}{5} m=\frac{7-2\sqrt{31}}{5}$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$5m^{2}-14m-15=0$$

수식의 양쪽에 15을(를) 더합니다.

$$5m^{2}-14m-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

자신에서 -15을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$5m^{2}-14m=-\left(-15\right)$$

0에서 -15을(를) 뺍니다.

$$5m^{2}-14m=15$$

양쪽을 5(으)로 나눕니다.

$$\frac{5m^{2}-14m}{5}=\frac{15}{5}$$

5(으)로 나누면 5(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$m^{2}-\frac{14}{5}m=\frac{15}{5}$$

15을(를) 5(으)로 나눕니다.

$$m^{2}-\frac{14}{5}m=3$$

x 항의 계수인 -\frac{14}{5}을(를) 2(으)로 나눠서 -\frac{7}{5}을(를) 구합니다. 그런 다음 -\frac{7}{5}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$m^{2}-\frac{14}{5}m+\left(-\frac{7}{5}\right)^{2}=3+\left(-\frac{7}{5}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 -\frac{7}{5}을(를) 제곱합니다.

$$m^{2}-\frac{14}{5}m+\frac{49}{25}=3+\frac{49}{25}$$

3을(를) \frac{49}{25}에 추가합니다.

$$m^{2}-\frac{14}{5}m+\frac{49}{25}=\frac{124}{25}$$

인수 m^{2}-\frac{14}{5}m+\frac{49}{25}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(m-\frac{7}{5}\right)^{2}=\frac{124}{25}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(m-\frac{7}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{124}{25}}$$

단순화합니다.

$$m-\frac{7}{5}=\frac{2\sqrt{31}}{5} m-\frac{7}{5}=-\frac{2\sqrt{31}}{5}$$

수식의 양쪽에 \frac{7}{5}을(를) 더합니다.

$$m=\frac{2\sqrt{31}+7}{5} m=\frac{7-2\sqrt{31}}{5}$$