다음을 풀어보세요: 5x^2-x-2184=0

$$5 { x }^{ 2 } -x-2184=0$$

x에 대한 해

$$x = -\frac{104}{5} = -20\frac{4}{5} = -20.8$$

$$x=21$$

그룹화를 통한 인수 분해 사용 단계

수식을 계산하려면 그룹화를 통해 왼쪽을 인수 분해합니다. 우선 왼쪽을 5x^{2}+ax+bx-2184(으)로 다시 작성해야 합니다. a 및 b를 찾으려면 해결할 시스템을 설정 하세요.

$$a+b=-1 ab=5\left(-2184\right)=-10920$$

ab가 음수 이기 때문에 a 및 b에는 반대 기호가 있습니다. a+b 음수 이기 때문에 음수 값은 양수 보다 더 큰 절대값을 가집니다. 제품 -10920을(를) 제공하는 모든 정수 쌍을 나열합니다.

$$1,-10920 2,-5460 3,-3640 4,-2730 5,-2184 6,-1820 7,-1560 8,-1365 10,-1092 12,-910 13,-840 14,-780 15,-728 20,-546 21,-520 24,-455 26,-420 28,-390 30,-364 35,-312 39,-280 40,-273 42,-260 52,-210 56,-195 60,-182 65,-168 70,-156 78,-140 84,-130 91,-120 104,-105$$

각 쌍의 합계를 계산합니다.

$$1-10920=-10919 2-5460=-5458 3-3640=-3637 4-2730=-2726 5-2184=-2179 6-1820=-1814 7-1560=-1553 8-1365=-1357 10-1092=-1082 12-910=-898 13-840=-827 14-780=-766 15-728=-713 20-546=-526 21-520=-499 24-455=-431 26-420=-394 28-390=-362 30-364=-334 35-312=-277 39-280=-241 40-273=-233 42-260=-218 52-210=-158 56-195=-139 60-182=-122 65-168=-103 70-156=-86 78-140=-62 84-130=-46 91-120=-29 104-105=-1$$

이 해답은 합계 -1이(가) 도출되는 쌍입니다.

$$a=-105 b=104$$

5x^{2}-x-2184을(를) \left(5x^{2}-105x\right)+\left(104x-2184\right)(으)로 다시 작성합니다.

$$\left(5x^{2}-105x\right)+\left(104x-2184\right)$$

첫 번째 그룹 및 104에서 5x를 제한 합니다.

$$5x\left(x-21\right)+104\left(x-21\right)$$

분배 법칙을 사용하여 공통항 x-21을(를) 인수 분해합니다.

$$\left(x-21\right)\left(5x+104\right)$$

수식 솔루션을 찾으려면 x-21=0을 해결 하 고, 5x+104=0.

$$x=21 x=-\frac{104}{5}$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$5x^{2}-x-2184=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 5을(를) a로, -1을(를) b로, -2184을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 5\left(-2184\right)}}{2\times 5}$$

-4에 5을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-20\left(-2184\right)}}{2\times 5}$$

-20에 -2184을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+43680}}{2\times 5}$$

1을(를) 43680에 추가합니다.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{43681}}{2\times 5}$$

43681의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±209}{2\times 5}$$

-1의 반대는 1입니다.

$$x=\frac{1±209}{2\times 5}$$

2에 5을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{1±209}{10}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{1±209}{10}을(를) 풉니다. 1을(를) 209에 추가합니다.

$$x=\frac{210}{10}$$

210을(를) 10(으)로 나눕니다.

$$x=21$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{1±209}{10}을(를) 풉니다. 1에서 209을(를) 뺍니다.

$$x=-\frac{208}{10}$$

2을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{-208}{10}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x=-\frac{104}{5}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=21 x=-\frac{104}{5}$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$5x^{2}-x-2184=0$$

수식의 양쪽에 2184을(를) 더합니다.

$$5x^{2}-x-2184-\left(-2184\right)=-\left(-2184\right)$$

자신에서 -2184을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$5x^{2}-x=-\left(-2184\right)$$

0에서 -2184을(를) 뺍니다.

$$5x^{2}-x=2184$$

양쪽을 5(으)로 나눕니다.

$$\frac{5x^{2}-x}{5}=\frac{2184}{5}$$

5(으)로 나누면 5(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x=\frac{2184}{5}$$

x 항의 계수인 -\frac{1}{5}을(를) 2(으)로 나눠서 -\frac{1}{10}을(를) 구합니다. 그런 다음 -\frac{1}{10}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x+\left(-\frac{1}{10}\right)^{2}=\frac{2184}{5}+\left(-\frac{1}{10}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 -\frac{1}{10}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}=\frac{2184}{5}+\frac{1}{100}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{2184}{5}을(를) \frac{1}{100}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}=\frac{43681}{100}$$

인수 x^{2}-\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x-\frac{1}{10}\right)^{2}=\frac{43681}{100}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{43681}{100}}$$

단순화합니다.

$$x-\frac{1}{10}=\frac{209}{10} x-\frac{1}{10}=-\frac{209}{10}$$

수식의 양쪽에 \frac{1}{10}을(를) 더합니다.

$$x=21 x=-\frac{104}{5}$$