다음을 풀어보세요: 5x^2-4x+10=0

$$5 { x }^{ 2 } -4x+10 = 0$$

x에 대한 해 (complex solution)

$$x=\frac{2+\sqrt{46}i}{5}\approx 0.4+1.356465997i$$

$$x=\frac{-\sqrt{46}i+2}{5}\approx 0.4-1.356465997i$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$5x^{2}-4x+10=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 5을(를) a로, -4을(를) b로, 10을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 5\times 10}}{2\times 5}$$

-4을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 5\times 10}}{2\times 5}$$

-4에 5을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-20\times 10}}{2\times 5}$$

-20에 10을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-200}}{2\times 5}$$

16을(를) -200에 추가합니다.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{-184}}{2\times 5}$$

-184의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±2\sqrt{46}i}{2\times 5}$$

-4의 반대는 4입니다.

$$x=\frac{4±2\sqrt{46}i}{2\times 5}$$

2에 5을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{4±2\sqrt{46}i}{10}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{4±2\sqrt{46}i}{10}을(를) 풉니다. 4을(를) 2i\sqrt{46}에 추가합니다.

$$x=\frac{4+2\sqrt{46}i}{10}$$

4+2i\sqrt{46}을(를) 10(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{2+\sqrt{46}i}{5}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{4±2\sqrt{46}i}{10}을(를) 풉니다. 4에서 2i\sqrt{46}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{-2\sqrt{46}i+4}{10}$$

4-2i\sqrt{46}을(를) 10(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{-\sqrt{46}i+2}{5}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{2+\sqrt{46}i}{5} x=\frac{-\sqrt{46}i+2}{5}$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$5x^{2}-4x+10=0$$

수식의 양쪽에서 10을(를) 뺍니다.

$$5x^{2}-4x+10-10=-10$$

자신에서 10을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$5x^{2}-4x=-10$$

양쪽을 5(으)로 나눕니다.

$$\frac{5x^{2}-4x}{5}=-\frac{10}{5}$$

5(으)로 나누면 5(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x=-\frac{10}{5}$$

-10을(를) 5(으)로 나눕니다.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x=-2$$

x 항의 계수인 -\frac{4}{5}을(를) 2(으)로 나눠서 -\frac{2}{5}을(를) 구합니다. 그런 다음 -\frac{2}{5}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x+\left(-\frac{2}{5}\right)^{2}=-2+\left(-\frac{2}{5}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 -\frac{2}{5}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}=-2+\frac{4}{25}$$

-2을(를) \frac{4}{25}에 추가합니다.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}=-\frac{46}{25}$$

x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}을(를) 인수 분해합니다. 일반적으로 x^{2}+bx+c가 완전 제곱일 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}로 인수 분해될 수 있습니다.

$$\left(x-\frac{2}{5}\right)^{2}=-\frac{46}{25}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{5}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{46}{25}}$$

단순화합니다.

$$x-\frac{2}{5}=\frac{\sqrt{46}i}{5} x-\frac{2}{5}=-\frac{\sqrt{46}i}{5}$$

수식의 양쪽에 \frac{2}{5}을(를) 더합니다.

$$x=\frac{2+\sqrt{46}i}{5} x=\frac{-\sqrt{46}i+2}{5}$$