다음을 풀어보세요: 5x^2-48x+20=0

$$5 { x }^{ 2 } -48x+20=0$$

x에 대한 해

$$x = \frac{2 \sqrt{119} + 24}{5} \approx 9.163484846$$

$$x=\frac{24-2\sqrt{119}}{5}\approx 0.436515154$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$5x^{2}-48x+20=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 5을(를) a로, -48을(를) b로, 20을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-\left(-48\right)±\sqrt{\left(-48\right)^{2}-4\times 5\times 20}}{2\times 5}$$

-48을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-48\right)±\sqrt{2304-4\times 5\times 20}}{2\times 5}$$

-4에 5을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-48\right)±\sqrt{2304-20\times 20}}{2\times 5}$$

-20에 20을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-48\right)±\sqrt{2304-400}}{2\times 5}$$

2304을(를) -400에 추가합니다.

$$x=\frac{-\left(-48\right)±\sqrt{1904}}{2\times 5}$$

1904의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-\left(-48\right)±4\sqrt{119}}{2\times 5}$$

-48의 반대는 48입니다.

$$x=\frac{48±4\sqrt{119}}{2\times 5}$$

2에 5을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{48±4\sqrt{119}}{10}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{48±4\sqrt{119}}{10}을(를) 풉니다. 48을(를) 4\sqrt{119}에 추가합니다.

$$x=\frac{4\sqrt{119}+48}{10}$$

48+4\sqrt{119}을(를) 10(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{2\sqrt{119}+24}{5}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{48±4\sqrt{119}}{10}을(를) 풉니다. 48에서 4\sqrt{119}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{48-4\sqrt{119}}{10}$$

48-4\sqrt{119}을(를) 10(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{24-2\sqrt{119}}{5}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{2\sqrt{119}+24}{5} x=\frac{24-2\sqrt{119}}{5}$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$5x^{2}-48x+20=0$$

수식의 양쪽에서 20을(를) 뺍니다.

$$5x^{2}-48x+20-20=-20$$

자신에서 20을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$5x^{2}-48x=-20$$

양쪽을 5(으)로 나눕니다.

$$\frac{5x^{2}-48x}{5}=-\frac{20}{5}$$

5(으)로 나누면 5(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}-\frac{48}{5}x=-\frac{20}{5}$$

-20을(를) 5(으)로 나눕니다.

$$x^{2}-\frac{48}{5}x=-4$$

x 항의 계수인 -\frac{48}{5}을(를) 2(으)로 나눠서 -\frac{24}{5}을(를) 구합니다. 그런 다음 -\frac{24}{5}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}-\frac{48}{5}x+\left(-\frac{24}{5}\right)^{2}=-4+\left(-\frac{24}{5}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 -\frac{24}{5}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}-\frac{48}{5}x+\frac{576}{25}=-4+\frac{576}{25}$$

-4을(를) \frac{576}{25}에 추가합니다.

$$x^{2}-\frac{48}{5}x+\frac{576}{25}=\frac{476}{25}$$

인수 x^{2}-\frac{48}{5}x+\frac{576}{25}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x-\frac{24}{5}\right)^{2}=\frac{476}{25}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x-\frac{24}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{476}{25}}$$

단순화합니다.

$$x-\frac{24}{5}=\frac{2\sqrt{119}}{5} x-\frac{24}{5}=-\frac{2\sqrt{119}}{5}$$

수식의 양쪽에 \frac{24}{5}을(를) 더합니다.

$$x=\frac{2\sqrt{119}+24}{5} x=\frac{24-2\sqrt{119}}{5}$$