다음을 풀어보세요: 5x^2-29x-42=0

$$5 { x }^{ 2 } -29x-42=0$$

x에 대한 해

$$x = -\frac{6}{5} = -1\frac{1}{5} = -1.2$$

$$x=7$$

그룹화를 통한 인수 분해 사용 단계

수식을 계산하려면 그룹화를 통해 왼쪽을 인수 분해합니다. 우선 왼쪽을 5x^{2}+ax+bx-42(으)로 다시 작성해야 합니다. a 및 b를 찾으려면 해결할 시스템을 설정 하세요.

$$a+b=-29 ab=5\left(-42\right)=-210$$

ab가 음수 이기 때문에 a 및 b에는 반대 기호가 있습니다. a+b 음수 이기 때문에 음수 값은 양수 보다 더 큰 절대값을 가집니다. 제품 -210을(를) 제공하는 모든 정수 쌍을 나열합니다.

$$1,-210 2,-105 3,-70 5,-42 6,-35 7,-30 10,-21 14,-15$$

각 쌍의 합계를 계산합니다.

$$1-210=-209 2-105=-103 3-70=-67 5-42=-37 6-35=-29 7-30=-23 10-21=-11 14-15=-1$$

이 해답은 합계 -29이(가) 도출되는 쌍입니다.

$$a=-35 b=6$$

5x^{2}-29x-42을(를) \left(5x^{2}-35x\right)+\left(6x-42\right)(으)로 다시 작성합니다.

$$\left(5x^{2}-35x\right)+\left(6x-42\right)$$

첫 번째 그룹 및 6에서 5x를 제한 합니다.

$$5x\left(x-7\right)+6\left(x-7\right)$$

분배 법칙을 사용하여 공통항 x-7을(를) 인수 분해합니다.

$$\left(x-7\right)\left(5x+6\right)$$

수식 솔루션을 찾으려면 x-7=0을 해결 하 고, 5x+6=0.

$$x=7 x=-\frac{6}{5}$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$5x^{2}-29x-42=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 5을(를) a로, -29을(를) b로, -42을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{\left(-29\right)^{2}-4\times 5\left(-42\right)}}{2\times 5}$$

-29을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841-4\times 5\left(-42\right)}}{2\times 5}$$

-4에 5을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841-20\left(-42\right)}}{2\times 5}$$

-20에 -42을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841+840}}{2\times 5}$$

841을(를) 840에 추가합니다.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{1681}}{2\times 5}$$

1681의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±41}{2\times 5}$$

-29의 반대는 29입니다.

$$x=\frac{29±41}{2\times 5}$$

2에 5을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{29±41}{10}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{29±41}{10}을(를) 풉니다. 29을(를) 41에 추가합니다.

$$x=\frac{70}{10}$$

70을(를) 10(으)로 나눕니다.

$$x=7$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{29±41}{10}을(를) 풉니다. 29에서 41을(를) 뺍니다.

$$x=-\frac{12}{10}$$

2을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{-12}{10}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x=-\frac{6}{5}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=7 x=-\frac{6}{5}$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$5x^{2}-29x-42=0$$

수식의 양쪽에 42을(를) 더합니다.

$$5x^{2}-29x-42-\left(-42\right)=-\left(-42\right)$$

자신에서 -42을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$5x^{2}-29x=-\left(-42\right)$$

0에서 -42을(를) 뺍니다.

$$5x^{2}-29x=42$$

양쪽을 5(으)로 나눕니다.

$$\frac{5x^{2}-29x}{5}=\frac{42}{5}$$

5(으)로 나누면 5(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}-\frac{29}{5}x=\frac{42}{5}$$

x 항의 계수인 -\frac{29}{5}을(를) 2(으)로 나눠서 -\frac{29}{10}을(를) 구합니다. 그런 다음 -\frac{29}{10}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}-\frac{29}{5}x+\left(-\frac{29}{10}\right)^{2}=\frac{42}{5}+\left(-\frac{29}{10}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 -\frac{29}{10}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}-\frac{29}{5}x+\frac{841}{100}=\frac{42}{5}+\frac{841}{100}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{42}{5}을(를) \frac{841}{100}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x^{2}-\frac{29}{5}x+\frac{841}{100}=\frac{1681}{100}$$

인수 x^{2}-\frac{29}{5}x+\frac{841}{100}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x-\frac{29}{10}\right)^{2}=\frac{1681}{100}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x-\frac{29}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1681}{100}}$$

단순화합니다.

$$x-\frac{29}{10}=\frac{41}{10} x-\frac{29}{10}=-\frac{41}{10}$$

수식의 양쪽에 \frac{29}{10}을(를) 더합니다.

$$x=7 x=-\frac{6}{5}$$