다음을 풀어보세요: 5x^2+32x+10=0

$$5 { x }^{ 2 } +32x+10=0$$

x에 대한 해

$$x=\frac{\sqrt{206}-16}{5}\approx -0.329459981$$

$$x=\frac{-\sqrt{206}-16}{5}\approx -6.070540019$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$5x^{2}+32x+10=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 5을(를) a로, 32을(를) b로, 10을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-32±\sqrt{32^{2}-4\times 5\times 10}}{2\times 5}$$

32을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-32±\sqrt{1024-4\times 5\times 10}}{2\times 5}$$

-4에 5을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-32±\sqrt{1024-20\times 10}}{2\times 5}$$

-20에 10을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-32±\sqrt{1024-200}}{2\times 5}$$

1024을(를) -200에 추가합니다.

$$x=\frac{-32±\sqrt{824}}{2\times 5}$$

824의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-32±2\sqrt{206}}{2\times 5}$$

2에 5을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-32±2\sqrt{206}}{10}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{-32±2\sqrt{206}}{10}을(를) 풉니다. -32을(를) 2\sqrt{206}에 추가합니다.

$$x=\frac{2\sqrt{206}-32}{10}$$

-32+2\sqrt{206}을(를) 10(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{\sqrt{206}-16}{5}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{-32±2\sqrt{206}}{10}을(를) 풉니다. -32에서 2\sqrt{206}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{-2\sqrt{206}-32}{10}$$

-32-2\sqrt{206}을(를) 10(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{-\sqrt{206}-16}{5}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{\sqrt{206}-16}{5} x=\frac{-\sqrt{206}-16}{5}$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$5x^{2}+32x+10=0$$

수식의 양쪽에서 10을(를) 뺍니다.

$$5x^{2}+32x+10-10=-10$$

자신에서 10을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$5x^{2}+32x=-10$$

양쪽을 5(으)로 나눕니다.

$$\frac{5x^{2}+32x}{5}=-\frac{10}{5}$$

5(으)로 나누면 5(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\frac{32}{5}x=-\frac{10}{5}$$

-10을(를) 5(으)로 나눕니다.

$$x^{2}+\frac{32}{5}x=-2$$

x 항의 계수인 \frac{32}{5}을(를) 2(으)로 나눠서 \frac{16}{5}을(를) 구합니다. 그런 다음 \frac{16}{5}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}+\frac{32}{5}x+\left(\frac{16}{5}\right)^{2}=-2+\left(\frac{16}{5}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 \frac{16}{5}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}+\frac{32}{5}x+\frac{256}{25}=-2+\frac{256}{25}$$

-2을(를) \frac{256}{25}에 추가합니다.

$$x^{2}+\frac{32}{5}x+\frac{256}{25}=\frac{206}{25}$$

x^{2}+\frac{32}{5}x+\frac{256}{25}을(를) 인수 분해합니다. 일반적으로 x^{2}+bx+c가 완전 제곱일 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}로 인수 분해될 수 있습니다.

$$\left(x+\frac{16}{5}\right)^{2}=\frac{206}{25}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x+\frac{16}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{206}{25}}$$

단순화합니다.

$$x+\frac{16}{5}=\frac{\sqrt{206}}{5} x+\frac{16}{5}=-\frac{\sqrt{206}}{5}$$

수식의 양쪽에서 \frac{16}{5}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{\sqrt{206}-16}{5} x=\frac{-\sqrt{206}-16}{5}$$