다음을 풀어보세요: 5x^2+10x-75=0

$$5 { x }^{ 2 } +10x-75 = 0$$

x에 대한 해

$$x=-5$$

$$x=3$$

그룹화를 통한 인수 분해 사용 단계

양쪽을 5(으)로 나눕니다.

$$x^{2}+2x-15=0$$

수식을 계산하려면 그룹화를 통해 왼쪽을 인수 분해합니다. 우선 왼쪽을 x^{2}+ax+bx-15(으)로 다시 작성해야 합니다. a 및 b를 찾으려면 해결할 시스템을 설정 하세요.

$$a+b=2 ab=1\left(-15\right)=-15$$

ab가 음수 이기 때문에 a 및 b에는 반대 기호가 있습니다. a+b이(가) 양수이므로 양수는 음수보다 큰 절대값을 가집니다. 제품 -15을(를) 제공하는 모든 정수 쌍을 나열합니다.

$$-1,15 -3,5$$

각 쌍의 합계를 계산합니다.

$$-1+15=14 -3+5=2$$

이 해답은 합계 2이(가) 도출되는 쌍입니다.

$$a=-3 b=5$$

x^{2}+2x-15을(를) \left(x^{2}-3x\right)+\left(5x-15\right)(으)로 다시 작성합니다.

$$\left(x^{2}-3x\right)+\left(5x-15\right)$$

첫 번째 그룹 및 5에서 x를 제한 합니다.

$$x\left(x-3\right)+5\left(x-3\right)$$

분배 법칙을 사용하여 공통항 x-3을(를) 인수 분해합니다.

$$\left(x-3\right)\left(x+5\right)$$

수식 솔루션을 찾으려면 x-3=0을 해결 하 고, x+5=0.

$$x=3 x=-5$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$5x^{2}+10x-75=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 5을(를) a로, 10을(를) b로, -75을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 5\left(-75\right)}}{2\times 5}$$

10을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 5\left(-75\right)}}{2\times 5}$$

-4에 5을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-20\left(-75\right)}}{2\times 5}$$

-20에 -75을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+1500}}{2\times 5}$$

100을(를) 1500에 추가합니다.

$$x=\frac{-10±\sqrt{1600}}{2\times 5}$$

1600의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-10±40}{2\times 5}$$

2에 5을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-10±40}{10}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{-10±40}{10}을(를) 풉니다. -10을(를) 40에 추가합니다.

$$x=\frac{30}{10}$$

30을(를) 10(으)로 나눕니다.

$$x=3$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{-10±40}{10}을(를) 풉니다. -10에서 40을(를) 뺍니다.

$$x=-\frac{50}{10}$$

-50을(를) 10(으)로 나눕니다.

$$x=-5$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=3 x=-5$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$5x^{2}+10x-75=0$$

수식의 양쪽에 75을(를) 더합니다.

$$5x^{2}+10x-75-\left(-75\right)=-\left(-75\right)$$

자신에서 -75을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$5x^{2}+10x=-\left(-75\right)$$

0에서 -75을(를) 뺍니다.

$$5x^{2}+10x=75$$

양쪽을 5(으)로 나눕니다.

$$\frac{5x^{2}+10x}{5}=\frac{75}{5}$$

5(으)로 나누면 5(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\frac{10}{5}x=\frac{75}{5}$$

10을(를) 5(으)로 나눕니다.

$$x^{2}+2x=\frac{75}{5}$$

75을(를) 5(으)로 나눕니다.

$$x^{2}+2x=15$$

x 항의 계수인 2을(를) 2(으)로 나눠서 1을(를) 구합니다. 그런 다음 1의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}+2x+1^{2}=15+1^{2}$$

1을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}+2x+1=15+1$$

15을(를) 1에 추가합니다.

$$x^{2}+2x+1=16$$

인수 x^{2}+2x+1. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x+1\right)^{2}=16$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{16}$$

단순화합니다.

$$x+1=4 x+1=-4$$

수식의 양쪽에서 1을(를) 뺍니다.

$$x=3 x=-5$$