다음을 풀어보세요: 49x-57y=172;quad57x-49y=252

$$49 x - 57 y = 172 ; \quad 57 x - 49 y = 252$$

x, y에 대한 해

$$x=7$$

$$y=3$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$49x-57y=172,57x-49y=252$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$49x-57y=172$$

수식의 양쪽에 57y을(를) 더합니다.

$$49x=57y+172$$

양쪽을 49(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{49}\left(57y+172\right)$$

\frac{1}{49}에 57y+172을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{57}{49}y+\frac{172}{49}$$

다른 수식 57x-49y=252에서 \frac{57y+172}{49}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$57\left(\frac{57}{49}y+\frac{172}{49}\right)-49y=252$$

57에 \frac{57y+172}{49}을(를) 곱합니다.

$$\frac{3249}{49}y+\frac{9804}{49}-49y=252$$

\frac{3249y}{49}을(를) -49y에 추가합니다.

$$\frac{848}{49}y+\frac{9804}{49}=252$$

수식의 양쪽에서 \frac{9804}{49}을(를) 뺍니다.

$$\frac{848}{49}y=\frac{2544}{49}$$

수식의 양쪽을 \frac{848}{49}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=3$$

x=\frac{57}{49}y+\frac{172}{49}에서 y을(를) 3(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=\frac{57}{49}\times 3+\frac{172}{49}$$

\frac{57}{49}에 3을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{171+172}{49}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{172}{49}을(를) \frac{171}{49}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=7$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=7,y=3$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$49x-57y=172,57x-49y=252$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}49&-57\\57&-49\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}172\\252\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}49&-57\\57&-49\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}49&-57\\57&-49\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}49&-57\\57&-49\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}49&-57\\57&-49\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}172\\252\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}49&-57\\57&-49\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}172\\252\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}49&-57\\57&-49\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}172\\252\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{49}{49\left(-49\right)-\left(-57\times 57\right)}&-\frac{-57}{49\left(-49\right)-\left(-57\times 57\right)}\\-\frac{57}{49\left(-49\right)-\left(-57\times 57\right)}&\frac{49}{49\left(-49\right)-\left(-57\times 57\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}172\\252\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{49}{848}&\frac{57}{848}\\-\frac{57}{848}&\frac{49}{848}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}172\\252\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{49}{848}\times 172+\frac{57}{848}\times 252\\-\frac{57}{848}\times 172+\frac{49}{848}\times 252\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\3\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=7,y=3$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$49x-57y=172,57x-49y=252$$

49x 및 57x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 57을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 49을(를) 곱합니다.

$$57\times 49x+57\left(-57\right)y=57\times 172,49\times 57x+49\left(-49\right)y=49\times 252$$

단순화합니다.

$$2793x-3249y=9804,2793x-2401y=12348$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 2793x-3249y=9804에서 2793x-2401y=12348을(를) 뺍니다.

$$2793x-2793x-3249y+2401y=9804-12348$$

2793x을(를) -2793x에 추가합니다. 2793x 및 -2793x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-3249y+2401y=9804-12348$$

-3249y을(를) 2401y에 추가합니다.

$$-848y=9804-12348$$

9804을(를) -12348에 추가합니다.

$$-848y=-2544$$

양쪽을 -848(으)로 나눕니다.

$$y=3$$

57x-49y=252에서 y을(를) 3(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$57x-49\times 3=252$$

-49에 3을(를) 곱합니다.

$$57x-147=252$$

수식의 양쪽에 147을(를) 더합니다.

$$57x=399$$

양쪽을 57(으)로 나눕니다.

$$x=7$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=7,y=3$$