다음을 풀어보세요: 49x^2+2x-15=0

$$49 { x }^{ 2 } +2x-15=0$$

x에 대한 해

$$x=\frac{4\sqrt{46}-1}{49}\approx 0.533251427$$

$$x=\frac{-4\sqrt{46}-1}{49}\approx -0.574067754$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$49x^{2}+2x-15=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 49을(를) a로, 2을(를) b로, -15을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 49\left(-15\right)}}{2\times 49}$$

2을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 49\left(-15\right)}}{2\times 49}$$

-4에 49을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-196\left(-15\right)}}{2\times 49}$$

-196에 -15을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+2940}}{2\times 49}$$

4을(를) 2940에 추가합니다.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2944}}{2\times 49}$$

2944의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-2±8\sqrt{46}}{2\times 49}$$

2에 49을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-2±8\sqrt{46}}{98}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{-2±8\sqrt{46}}{98}을(를) 풉니다. -2을(를) 8\sqrt{46}에 추가합니다.

$$x=\frac{8\sqrt{46}-2}{98}$$

-2+8\sqrt{46}을(를) 98(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{4\sqrt{46}-1}{49}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{-2±8\sqrt{46}}{98}을(를) 풉니다. -2에서 8\sqrt{46}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{-8\sqrt{46}-2}{98}$$

-2-8\sqrt{46}을(를) 98(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{-4\sqrt{46}-1}{49}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{4\sqrt{46}-1}{49} x=\frac{-4\sqrt{46}-1}{49}$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$49x^{2}+2x-15=0$$

수식의 양쪽에 15을(를) 더합니다.

$$49x^{2}+2x-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

자신에서 -15을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$49x^{2}+2x=-\left(-15\right)$$

0에서 -15을(를) 뺍니다.

$$49x^{2}+2x=15$$

양쪽을 49(으)로 나눕니다.

$$\frac{49x^{2}+2x}{49}=\frac{15}{49}$$

49(으)로 나누면 49(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\frac{2}{49}x=\frac{15}{49}$$

x 항의 계수인 \frac{2}{49}을(를) 2(으)로 나눠서 \frac{1}{49}을(를) 구합니다. 그런 다음 \frac{1}{49}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}+\frac{2}{49}x+\left(\frac{1}{49}\right)^{2}=\frac{15}{49}+\left(\frac{1}{49}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 \frac{1}{49}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}+\frac{2}{49}x+\frac{1}{2401}=\frac{15}{49}+\frac{1}{2401}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{15}{49}을(를) \frac{1}{2401}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x^{2}+\frac{2}{49}x+\frac{1}{2401}=\frac{736}{2401}$$

인수 x^{2}+\frac{2}{49}x+\frac{1}{2401}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x+\frac{1}{49}\right)^{2}=\frac{736}{2401}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{49}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{736}{2401}}$$

단순화합니다.

$$x+\frac{1}{49}=\frac{4\sqrt{46}}{49} x+\frac{1}{49}=-\frac{4\sqrt{46}}{49}$$

수식의 양쪽에서 \frac{1}{49}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{4\sqrt{46}-1}{49} x=\frac{-4\sqrt{46}-1}{49}$$