다음을 풀어보세요: 45000=-2x^2+200x+400

$$45000=-2 { x }^{ 2 } +200x+400$$

x에 대한 해 (complex solution)

$$x=50+30\sqrt{22}i\approx 50+140.712472795i$$

$$x=-30\sqrt{22}i+50\approx 50-140.712472795i$$

근의 공식을 사용한 단계

모든 변수 항이 왼쪽에 오도록 위치를 바꿉니다.

$$-2x^{2}+200x+400=45000$$

양쪽 모두에서 45000을(를) 뺍니다.

$$-2x^{2}+200x+400-45000=0$$

400에서 45000을(를) 빼고 -44600을(를) 구합니다.

$$-2x^{2}+200x-44600=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 -2을(를) a로, 200을(를) b로, -44600을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-200±\sqrt{200^{2}-4\left(-2\right)\left(-44600\right)}}{2\left(-2\right)}$$

200을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-200±\sqrt{40000-4\left(-2\right)\left(-44600\right)}}{2\left(-2\right)}$$

-4에 -2을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-200±\sqrt{40000+8\left(-44600\right)}}{2\left(-2\right)}$$

8에 -44600을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-200±\sqrt{40000-356800}}{2\left(-2\right)}$$

40000을(를) -356800에 추가합니다.

$$x=\frac{-200±\sqrt{-316800}}{2\left(-2\right)}$$

-316800의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-200±120\sqrt{22}i}{2\left(-2\right)}$$

2에 -2을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-200±120\sqrt{22}i}{-4}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{-200±120\sqrt{22}i}{-4}을(를) 풉니다. -200을(를) 120i\sqrt{22}에 추가합니다.

$$x=\frac{-200+120\sqrt{22}i}{-4}$$

-200+120i\sqrt{22}을(를) -4(으)로 나눕니다.

$$x=-30\sqrt{22}i+50$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{-200±120\sqrt{22}i}{-4}을(를) 풉니다. -200에서 120i\sqrt{22}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{-120\sqrt{22}i-200}{-4}$$

-200-120i\sqrt{22}을(를) -4(으)로 나눕니다.

$$x=50+30\sqrt{22}i$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=-30\sqrt{22}i+50 x=50+30\sqrt{22}i$$

제곱 완성 단계

모든 변수 항이 왼쪽에 오도록 위치를 바꿉니다.

$$-2x^{2}+200x+400=45000$$

양쪽 모두에서 400을(를) 뺍니다.

$$-2x^{2}+200x=45000-400$$

45000에서 400을(를) 빼고 44600을(를) 구합니다.

$$-2x^{2}+200x=44600$$

양쪽을 -2(으)로 나눕니다.

$$\frac{-2x^{2}+200x}{-2}=\frac{44600}{-2}$$

-2(으)로 나누면 -2(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\frac{200}{-2}x=\frac{44600}{-2}$$

200을(를) -2(으)로 나눕니다.

$$x^{2}-100x=\frac{44600}{-2}$$

44600을(를) -2(으)로 나눕니다.

$$x^{2}-100x=-22300$$

x 항의 계수인 -100을(를) 2(으)로 나눠서 -50을(를) 구합니다. 그런 다음 -50의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}-100x+\left(-50\right)^{2}=-22300+\left(-50\right)^{2}$$

-50을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}-100x+2500=-22300+2500$$

-22300을(를) 2500에 추가합니다.

$$x^{2}-100x+2500=-19800$$

인수 x^{2}-100x+2500. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x-50\right)^{2}=-19800$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x-50\right)^{2}}=\sqrt{-19800}$$

단순화합니다.

$$x-50=30\sqrt{22}i x-50=-30\sqrt{22}i$$

수식의 양쪽에 50을(를) 더합니다.

$$x=50+30\sqrt{22}i x=-30\sqrt{22}i+50$$