다음을 풀어보세요: 42x^2-5x-3=0

$$42 x ^ { 2 } - 5 x - 3 = 0$$

x에 대한 해

$$x=-\frac{3}{14}\approx -0.214285714$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

그룹화를 통한 인수 분해 사용 단계

수식을 계산하려면 그룹화를 통해 왼쪽을 인수 분해합니다. 우선 왼쪽을 42x^{2}+ax+bx-3(으)로 다시 작성해야 합니다. a 및 b를 찾으려면 해결할 시스템을 설정 하세요.

$$a+b=-5 ab=42\left(-3\right)=-126$$

ab가 음수 이기 때문에 a 및 b에는 반대 기호가 있습니다. a+b 음수 이기 때문에 음수 값은 양수 보다 더 큰 절대값을 가집니다. 제품 -126을(를) 제공하는 모든 정수 쌍을 나열합니다.

$$1,-126 2,-63 3,-42 6,-21 7,-18 9,-14$$

각 쌍의 합계를 계산합니다.

$$1-126=-125 2-63=-61 3-42=-39 6-21=-15 7-18=-11 9-14=-5$$

이 해답은 합계 -5이(가) 도출되는 쌍입니다.

$$a=-14 b=9$$

42x^{2}-5x-3을(를) \left(42x^{2}-14x\right)+\left(9x-3\right)(으)로 다시 작성합니다.

$$\left(42x^{2}-14x\right)+\left(9x-3\right)$$

두 번째 그룹에서 3 및 첫 번째 그룹에서 14x을(를) 인수 분해합니다.

$$14x\left(3x-1\right)+3\left(3x-1\right)$$

분배 법칙을 사용하여 공통항 3x-1을(를) 인수 분해합니다.

$$\left(3x-1\right)\left(14x+3\right)$$

수식 해답을 찾으려면 3x-1=0을 해결 하 고, 14x+3=0.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{3}{14}$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$42x^{2}-5x-3=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 42을(를) a로, -5을(를) b로, -3을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 42\left(-3\right)}}{2\times 42}$$

-5을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 42\left(-3\right)}}{2\times 42}$$

-4에 42을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-168\left(-3\right)}}{2\times 42}$$

-168에 -3을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+504}}{2\times 42}$$

25을(를) 504에 추가합니다.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{529}}{2\times 42}$$

529의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±23}{2\times 42}$$

-5의 반대는 5입니다.

$$x=\frac{5±23}{2\times 42}$$

2에 42을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{5±23}{84}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{5±23}{84}을(를) 풉니다. 5을(를) 23에 추가합니다.

$$x=\frac{28}{84}$$

28을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{28}{84}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x=\frac{1}{3}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{5±23}{84}을(를) 풉니다. 5에서 23을(를) 뺍니다.

$$x=-\frac{18}{84}$$

6을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{-18}{84}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x=-\frac{3}{14}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{3}{14}$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$42x^{2}-5x-3=0$$

수식의 양쪽에 3을(를) 더합니다.

$$42x^{2}-5x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

자신에서 -3을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$42x^{2}-5x=-\left(-3\right)$$

0에서 -3을(를) 뺍니다.

$$42x^{2}-5x=3$$

양쪽을 42(으)로 나눕니다.

$$\frac{42x^{2}-5x}{42}=\frac{3}{42}$$

42(으)로 나누면 42(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x=\frac{3}{42}$$

3을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{3}{42}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x=\frac{1}{14}$$

x 항의 계수인 -\frac{5}{42}을(를) 2(으)로 나눠서 -\frac{5}{84}을(를) 구합니다. 그런 다음 -\frac{5}{84}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x+\left(-\frac{5}{84}\right)^{2}=\frac{1}{14}+\left(-\frac{5}{84}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 -\frac{5}{84}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x+\frac{25}{7056}=\frac{1}{14}+\frac{25}{7056}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{1}{14}을(를) \frac{25}{7056}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x+\frac{25}{7056}=\frac{529}{7056}$$

x^{2}-\frac{5}{42}x+\frac{25}{7056}을(를) 인수 분해합니다. 일반적으로 x^{2}+bx+c가 완전 제곱일 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}로 인수 분해될 수 있습니다.

$$\left(x-\frac{5}{84}\right)^{2}=\frac{529}{7056}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{84}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{7056}}$$

단순화합니다.

$$x-\frac{5}{84}=\frac{23}{84} x-\frac{5}{84}=-\frac{23}{84}$$

수식의 양쪽에 \frac{5}{84}을(를) 더합니다.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{3}{14}$$