다음을 풀어보세요: 4z^2+60z=800

$$4 z ^ { 2 } + 60 z = 800$$

z에 대한 해

$$z = \frac{5 \sqrt{41} - 15}{2} \approx 8.507810594$$

$$z=\frac{-5\sqrt{41}-15}{2}\approx -23.507810594$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$4z^{2}+60z=800$$

수식의 양쪽에서 800을(를) 뺍니다.

$$4z^{2}+60z-800=800-800$$

자신에서 800을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$4z^{2}+60z-800=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 4을(를) a로, 60을(를) b로, -800을(를) c로 치환합니다.

$$z=\frac{-60±\sqrt{60^{2}-4\times 4\left(-800\right)}}{2\times 4}$$

60을(를) 제곱합니다.

$$z=\frac{-60±\sqrt{3600-4\times 4\left(-800\right)}}{2\times 4}$$

-4에 4을(를) 곱합니다.

$$z=\frac{-60±\sqrt{3600-16\left(-800\right)}}{2\times 4}$$

-16에 -800을(를) 곱합니다.

$$z=\frac{-60±\sqrt{3600+12800}}{2\times 4}$$

3600을(를) 12800에 추가합니다.

$$z=\frac{-60±\sqrt{16400}}{2\times 4}$$

16400의 제곱근을 구합니다.

$$z=\frac{-60±20\sqrt{41}}{2\times 4}$$

2에 4을(를) 곱합니다.

$$z=\frac{-60±20\sqrt{41}}{8}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 z=\frac{-60±20\sqrt{41}}{8}을(를) 풉니다. -60을(를) 20\sqrt{41}에 추가합니다.

$$z=\frac{20\sqrt{41}-60}{8}$$

-60+20\sqrt{41}을(를) 8(으)로 나눕니다.

$$z=\frac{5\sqrt{41}-15}{2}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 z=\frac{-60±20\sqrt{41}}{8}을(를) 풉니다. -60에서 20\sqrt{41}을(를) 뺍니다.

$$z=\frac{-20\sqrt{41}-60}{8}$$

-60-20\sqrt{41}을(를) 8(으)로 나눕니다.

$$z=\frac{-5\sqrt{41}-15}{2}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$z=\frac{5\sqrt{41}-15}{2} z=\frac{-5\sqrt{41}-15}{2}$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$4z^{2}+60z=800$$

양쪽을 4(으)로 나눕니다.

$$\frac{4z^{2}+60z}{4}=\frac{800}{4}$$

4(으)로 나누면 4(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$z^{2}+\frac{60}{4}z=\frac{800}{4}$$

60을(를) 4(으)로 나눕니다.

$$z^{2}+15z=\frac{800}{4}$$

800을(를) 4(으)로 나눕니다.

$$z^{2}+15z=200$$

x 항의 계수인 15을(를) 2(으)로 나눠서 \frac{15}{2}을(를) 구합니다. 그런 다음 \frac{15}{2}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$z^{2}+15z+\left(\frac{15}{2}\right)^{2}=200+\left(\frac{15}{2}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 \frac{15}{2}을(를) 제곱합니다.

$$z^{2}+15z+\frac{225}{4}=200+\frac{225}{4}$$

200을(를) \frac{225}{4}에 추가합니다.

$$z^{2}+15z+\frac{225}{4}=\frac{1025}{4}$$

인수 z^{2}+15z+\frac{225}{4}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(z+\frac{15}{2}\right)^{2}=\frac{1025}{4}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(z+\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1025}{4}}$$

단순화합니다.

$$z+\frac{15}{2}=\frac{5\sqrt{41}}{2} z+\frac{15}{2}=-\frac{5\sqrt{41}}{2}$$

수식의 양쪽에서 \frac{15}{2}을(를) 뺍니다.

$$z=\frac{5\sqrt{41}-15}{2} z=\frac{-5\sqrt{41}-15}{2}$$