다음을 풀어보세요: 4x^2-8x+16=0

$$4 x ^ { 2 } - 8 x + 16 = 0$$

x에 대한 해 (complex solution)

$$x=1+\sqrt{3}i\approx 1+1.732050808i$$

$$x=-\sqrt{3}i+1\approx 1-1.732050808i$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$4x^{2}-8x+16=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 4을(를) a로, -8을(를) b로, 16을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 4\times 16}}{2\times 4}$$

-8을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 4\times 16}}{2\times 4}$$

-4에 4을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-16\times 16}}{2\times 4}$$

-16에 16을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-256}}{2\times 4}$$

64을(를) -256에 추가합니다.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{-192}}{2\times 4}$$

-192의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±8\sqrt{3}i}{2\times 4}$$

-8의 반대는 8입니다.

$$x=\frac{8±8\sqrt{3}i}{2\times 4}$$

2에 4을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{8±8\sqrt{3}i}{8}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{8±8\sqrt{3}i}{8}을(를) 풉니다. 8을(를) 8i\sqrt{3}에 추가합니다.

$$x=\frac{8+8\sqrt{3}i}{8}$$

8+8i\sqrt{3}을(를) 8(으)로 나눕니다.

$$x=1+\sqrt{3}i$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{8±8\sqrt{3}i}{8}을(를) 풉니다. 8에서 8i\sqrt{3}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{-8\sqrt{3}i+8}{8}$$

8-8i\sqrt{3}을(를) 8(으)로 나눕니다.

$$x=-\sqrt{3}i+1$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=1+\sqrt{3}i x=-\sqrt{3}i+1$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$4x^{2}-8x+16=0$$

수식의 양쪽에서 16을(를) 뺍니다.

$$4x^{2}-8x+16-16=-16$$

자신에서 16을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$4x^{2}-8x=-16$$

양쪽을 4(으)로 나눕니다.

$$\frac{4x^{2}-8x}{4}=-\frac{16}{4}$$

4(으)로 나누면 4(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\left(-\frac{8}{4}\right)x=-\frac{16}{4}$$

-8을(를) 4(으)로 나눕니다.

$$x^{2}-2x=-\frac{16}{4}$$

-16을(를) 4(으)로 나눕니다.

$$x^{2}-2x=-4$$

x 항의 계수인 -2을(를) 2(으)로 나눠서 -1을(를) 구합니다. 그런 다음 -1의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}-2x+1=-4+1$$

-4을(를) 1에 추가합니다.

$$x^{2}-2x+1=-3$$

인수 x^{2}-2x+1. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x-1\right)^{2}=-3$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{-3}$$

단순화합니다.

$$x-1=\sqrt{3}i x-1=-\sqrt{3}i$$

수식의 양쪽에 1을(를) 더합니다.

$$x=1+\sqrt{3}i x=-\sqrt{3}i+1$$