다음을 풀어보세요: 4x^2-5x+1=0

$$4 x ^ { 2 } - 5 x + 1 = 0$$

x에 대한 해

$$x=\frac{1}{4}=0.25$$

$$x=1$$

그룹화를 통한 인수 분해 사용 단계

수식을 계산하려면 그룹화를 통해 왼쪽을 인수 분해합니다. 우선 왼쪽을 4x^{2}+ax+bx+1(으)로 다시 작성해야 합니다. a 및 b를 찾으려면 해결할 시스템을 설정 하세요.

$$a+b=-5 ab=4\times 1=4$$

ab은 양수 이기 때문에 a 및 b는 동일한 기호를가지고 있습니다. a+b은 음수 이기 때문에 a 및 b 모두 음수입니다. 제품 4을(를) 제공하는 모든 정수 쌍을 나열합니다.

$$-1,-4 -2,-2$$

각 쌍의 합계를 계산합니다.

$$-1-4=-5 -2-2=-4$$

이 해답은 합계 -5이(가) 도출되는 쌍입니다.

$$a=-4 b=-1$$

4x^{2}-5x+1을(를) \left(4x^{2}-4x\right)+\left(-x+1\right)(으)로 다시 작성합니다.

$$\left(4x^{2}-4x\right)+\left(-x+1\right)$$

첫 번째 그룹 및 -1에서 4x를 제한 합니다.

$$4x\left(x-1\right)-\left(x-1\right)$$

분배 법칙을 사용하여 공통항 x-1을(를) 인수 분해합니다.

$$\left(x-1\right)\left(4x-1\right)$$

수식 솔루션을 찾으려면 x-1=0을 해결 하 고, 4x-1=0.

$$x=1 x=\frac{1}{4}$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$4x^{2}-5x+1=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 4을(를) a로, -5을(를) b로, 1을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 4}}{2\times 4}$$

-5을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 4}}{2\times 4}$$

-4에 4을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-16}}{2\times 4}$$

25을(를) -16에 추가합니다.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{9}}{2\times 4}$$

9의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±3}{2\times 4}$$

-5의 반대는 5입니다.

$$x=\frac{5±3}{2\times 4}$$

2에 4을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{5±3}{8}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{5±3}{8}을(를) 풉니다. 5을(를) 3에 추가합니다.

$$x=\frac{8}{8}$$

8을(를) 8(으)로 나눕니다.

$$x=1$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{5±3}{8}을(를) 풉니다. 5에서 3을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{2}{8}$$

2을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{2}{8}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x=\frac{1}{4}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=1 x=\frac{1}{4}$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$4x^{2}-5x+1=0$$

수식의 양쪽에서 1을(를) 뺍니다.

$$4x^{2}-5x+1-1=-1$$

자신에서 1을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$4x^{2}-5x=-1$$

양쪽을 4(으)로 나눕니다.

$$\frac{4x^{2}-5x}{4}=-\frac{1}{4}$$

4(으)로 나누면 4(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x=-\frac{1}{4}$$

x 항의 계수인 -\frac{5}{4}을(를) 2(으)로 나눠서 -\frac{5}{8}을(를) 구합니다. 그런 다음 -\frac{5}{8}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}=-\frac{1}{4}+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 -\frac{5}{8}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=-\frac{1}{4}+\frac{25}{64}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 -\frac{1}{4}을(를) \frac{25}{64}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=\frac{9}{64}$$

인수 x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x-\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{9}{64}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{64}}$$

단순화합니다.

$$x-\frac{5}{8}=\frac{3}{8} x-\frac{5}{8}=-\frac{3}{8}$$

수식의 양쪽에 \frac{5}{8}을(를) 더합니다.

$$x=1 x=\frac{1}{4}$$