다음을 풀어보세요: 4x^2-4x+1=0

$$4 x ^ { 2 } - 4 x + 1 = 0$$

x에 대한 해

$$x=\frac{1}{2}=0.5$$

그룹화를 통한 인수 분해 사용 단계

수식을 계산하려면 그룹화를 통해 왼쪽을 인수 분해합니다. 우선 왼쪽을 4x^{2}+ax+bx+1(으)로 다시 작성해야 합니다. a 및 b를 찾으려면 해결할 시스템을 설정 하세요.

$$a+b=-4 ab=4\times 1=4$$

ab은 양수 이기 때문에 a 및 b는 동일한 기호를가지고 있습니다. a+b은 음수 이기 때문에 a 및 b 모두 음수입니다. 제품 4을(를) 제공하는 모든 정수 쌍을 나열합니다.

$$-1,-4 -2,-2$$

각 쌍의 합계를 계산합니다.

$$-1-4=-5 -2-2=-4$$

이 해답은 합계 -4이(가) 도출되는 쌍입니다.

$$a=-2 b=-2$$

4x^{2}-4x+1을(를) \left(4x^{2}-2x\right)+\left(-2x+1\right)(으)로 다시 작성합니다.

$$\left(4x^{2}-2x\right)+\left(-2x+1\right)$$

첫 번째 그룹 및 -1에서 2x를 제한 합니다.

$$2x\left(2x-1\right)-\left(2x-1\right)$$

분배 법칙을 사용하여 공통항 2x-1을(를) 인수 분해합니다.

$$\left(2x-1\right)\left(2x-1\right)$$

이항 제곱으로 다시 작성합니다.

$$\left(2x-1\right)^{2}$$

수식 해답을 찾으려면 2x-1=0을(를) 계산하세요.

$$x=\frac{1}{2}$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$4x^{2}-4x+1=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 4을(를) a로, -4을(를) b로, 1을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 4}}{2\times 4}$$

-4을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 4}}{2\times 4}$$

-4에 4을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-16}}{2\times 4}$$

16을(를) -16에 추가합니다.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{0}}{2\times 4}$$

0의 제곱근을 구합니다.

$$x=-\frac{-4}{2\times 4}$$

-4의 반대는 4입니다.

$$x=\frac{4}{2\times 4}$$

2에 4을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{4}{8}$$

4을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{4}{8}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x=\frac{1}{2}$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$4x^{2}-4x+1=0$$

수식의 양쪽에서 1을(를) 뺍니다.

$$4x^{2}-4x+1-1=-1$$

자신에서 1을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$4x^{2}-4x=-1$$

양쪽을 4(으)로 나눕니다.

$$\frac{4x^{2}-4x}{4}=-\frac{1}{4}$$

4(으)로 나누면 4(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\left(-\frac{4}{4}\right)x=-\frac{1}{4}$$

-4을(를) 4(으)로 나눕니다.

$$x^{2}-x=-\frac{1}{4}$$

x 항의 계수인 -1을(를) 2(으)로 나눠서 -\frac{1}{2}을(를) 구합니다. 그런 다음 -\frac{1}{2}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{1}{4}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 -\frac{1}{2}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{-1+1}{4}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 -\frac{1}{4}을(를) \frac{1}{4}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=0$$

인수 x^{2}-x+\frac{1}{4}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=0$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

단순화합니다.

$$x-\frac{1}{2}=0 x-\frac{1}{2}=0$$

수식의 양쪽에 \frac{1}{2}을(를) 더합니다.

$$x=\frac{1}{2} x=\frac{1}{2}$$

수식이 이제 해결되었습니다. 해답은 동일합니다.

$$x=\frac{1}{2}$$