다음을 풀어보세요: 4x^2-18x+5=0

$$4 x ^ { 2 } - 18 x + 5 = 0$$

x에 대한 해

$$x = \frac{\sqrt{61} + 9}{4} \approx 4.202562419$$

$$x=\frac{9-\sqrt{61}}{4}\approx 0.297437581$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$4x^{2}-18x+5=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 4을(를) a로, -18을(를) b로, 5을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{\left(-18\right)^{2}-4\times 4\times 5}}{2\times 4}$$

-18을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324-4\times 4\times 5}}{2\times 4}$$

-4에 4을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324-16\times 5}}{2\times 4}$$

-16에 5을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324-80}}{2\times 4}$$

324을(를) -80에 추가합니다.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{244}}{2\times 4}$$

244의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±2\sqrt{61}}{2\times 4}$$

-18의 반대는 18입니다.

$$x=\frac{18±2\sqrt{61}}{2\times 4}$$

2에 4을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{18±2\sqrt{61}}{8}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{18±2\sqrt{61}}{8}을(를) 풉니다. 18을(를) 2\sqrt{61}에 추가합니다.

$$x=\frac{2\sqrt{61}+18}{8}$$

18+2\sqrt{61}을(를) 8(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{\sqrt{61}+9}{4}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{18±2\sqrt{61}}{8}을(를) 풉니다. 18에서 2\sqrt{61}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{18-2\sqrt{61}}{8}$$

18-2\sqrt{61}을(를) 8(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{9-\sqrt{61}}{4}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{\sqrt{61}+9}{4} x=\frac{9-\sqrt{61}}{4}$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$4x^{2}-18x+5=0$$

수식의 양쪽에서 5을(를) 뺍니다.

$$4x^{2}-18x+5-5=-5$$

자신에서 5을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$4x^{2}-18x=-5$$

양쪽을 4(으)로 나눕니다.

$$\frac{4x^{2}-18x}{4}=-\frac{5}{4}$$

4(으)로 나누면 4(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\left(-\frac{18}{4}\right)x=-\frac{5}{4}$$

2을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{-18}{4}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x=-\frac{5}{4}$$

x 항의 계수인 -\frac{9}{2}을(를) 2(으)로 나눠서 -\frac{9}{4}을(를) 구합니다. 그런 다음 -\frac{9}{4}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x+\left(-\frac{9}{4}\right)^{2}=-\frac{5}{4}+\left(-\frac{9}{4}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 -\frac{9}{4}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=-\frac{5}{4}+\frac{81}{16}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 -\frac{5}{4}을(를) \frac{81}{16}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=\frac{61}{16}$$

인수 x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x-\frac{9}{4}\right)^{2}=\frac{61}{16}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{61}{16}}$$

단순화합니다.

$$x-\frac{9}{4}=\frac{\sqrt{61}}{4} x-\frac{9}{4}=-\frac{\sqrt{61}}{4}$$

수식의 양쪽에 \frac{9}{4}을(를) 더합니다.

$$x=\frac{\sqrt{61}+9}{4} x=\frac{9-\sqrt{61}}{4}$$