다음을 풀어보세요: 4x^2-12x-27=0

$$4 x ^ { 2 } - 12 x - 27 = 0$$

x에 대한 해

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1.5$$

$$x = \frac{9}{2} = 4\frac{1}{2} = 4.5$$

그룹화를 통한 인수 분해 사용 단계

수식을 계산하려면 그룹화를 통해 왼쪽을 인수 분해합니다. 우선 왼쪽을 4x^{2}+ax+bx-27(으)로 다시 작성해야 합니다. a 및 b를 찾으려면 해결할 시스템을 설정 하세요.

$$a+b=-12 ab=4\left(-27\right)=-108$$

ab가 음수 이기 때문에 a 및 b에는 반대 기호가 있습니다. a+b 음수 이기 때문에 음수 값은 양수 보다 더 큰 절대값을 가집니다. 제품 -108을(를) 제공하는 모든 정수 쌍을 나열합니다.

$$1,-108 2,-54 3,-36 4,-27 6,-18 9,-12$$

각 쌍의 합계를 계산합니다.

$$1-108=-107 2-54=-52 3-36=-33 4-27=-23 6-18=-12 9-12=-3$$

이 해답은 합계 -12이(가) 도출되는 쌍입니다.

$$a=-18 b=6$$

4x^{2}-12x-27을(를) \left(4x^{2}-18x\right)+\left(6x-27\right)(으)로 다시 작성합니다.

$$\left(4x^{2}-18x\right)+\left(6x-27\right)$$

첫 번째 그룹 및 3에서 2x를 제한 합니다.

$$2x\left(2x-9\right)+3\left(2x-9\right)$$

분배 법칙을 사용하여 공통항 2x-9을(를) 인수 분해합니다.

$$\left(2x-9\right)\left(2x+3\right)$$

수식 솔루션을 찾으려면 2x-9=0을 해결 하 고, 2x+3=0.

$$x=\frac{9}{2} x=-\frac{3}{2}$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$4x^{2}-12x-27=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 4을(를) a로, -12을(를) b로, -27을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 4\left(-27\right)}}{2\times 4}$$

-12을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 4\left(-27\right)}}{2\times 4}$$

-4에 4을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-16\left(-27\right)}}{2\times 4}$$

-16에 -27을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+432}}{2\times 4}$$

144을(를) 432에 추가합니다.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{576}}{2\times 4}$$

576의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±24}{2\times 4}$$

-12의 반대는 12입니다.

$$x=\frac{12±24}{2\times 4}$$

2에 4을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{12±24}{8}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{12±24}{8}을(를) 풉니다. 12을(를) 24에 추가합니다.

$$x=\frac{36}{8}$$

4을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{36}{8}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x=\frac{9}{2}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{12±24}{8}을(를) 풉니다. 12에서 24을(를) 뺍니다.

$$x=-\frac{12}{8}$$

4을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{-12}{8}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x=-\frac{3}{2}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{9}{2} x=-\frac{3}{2}$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$4x^{2}-12x-27=0$$

수식의 양쪽에 27을(를) 더합니다.

$$4x^{2}-12x-27-\left(-27\right)=-\left(-27\right)$$

자신에서 -27을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$4x^{2}-12x=-\left(-27\right)$$

0에서 -27을(를) 뺍니다.

$$4x^{2}-12x=27$$

양쪽을 4(으)로 나눕니다.

$$\frac{4x^{2}-12x}{4}=\frac{27}{4}$$

4(으)로 나누면 4(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{4}\right)x=\frac{27}{4}$$

-12을(를) 4(으)로 나눕니다.

$$x^{2}-3x=\frac{27}{4}$$

x 항의 계수인 -3을(를) 2(으)로 나눠서 -\frac{3}{2}을(를) 구합니다. 그런 다음 -\frac{3}{2}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{27}{4}+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 -\frac{3}{2}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{27+9}{4}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{27}{4}을(를) \frac{9}{4}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=9$$

인수 x^{2}-3x+\frac{9}{4}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=9$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{9}$$

단순화합니다.

$$x-\frac{3}{2}=3 x-\frac{3}{2}=-3$$

수식의 양쪽에 \frac{3}{2}을(를) 더합니다.

$$x=\frac{9}{2} x=-\frac{3}{2}$$