다음을 풀어보세요: 4x^2-11x+30=16

$$4 x ^ { 2 } - 11 x + 30 = 16$$

x에 대한 해 (complex solution)

$$x=\frac{11+\sqrt{103}i}{8}\approx 1.375+1.268611446i$$

$$x=\frac{-\sqrt{103}i+11}{8}\approx 1.375-1.268611446i$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$4x^{2}-11x+30=16$$

수식의 양쪽에서 16을(를) 뺍니다.

$$4x^{2}-11x+30-16=16-16$$

자신에서 16을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$4x^{2}-11x+30-16=0$$

30에서 16을(를) 뺍니다.

$$4x^{2}-11x+14=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 4을(를) a로, -11을(를) b로, 14을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 4\times 14}}{2\times 4}$$

-11을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 4\times 14}}{2\times 4}$$

-4에 4을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-16\times 14}}{2\times 4}$$

-16에 14을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-224}}{2\times 4}$$

121을(를) -224에 추가합니다.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{-103}}{2\times 4}$$

-103의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{103}i}{2\times 4}$$

-11의 반대는 11입니다.

$$x=\frac{11±\sqrt{103}i}{2\times 4}$$

2에 4을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{11±\sqrt{103}i}{8}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{11±\sqrt{103}i}{8}을(를) 풉니다. 11을(를) i\sqrt{103}에 추가합니다.

$$x=\frac{11+\sqrt{103}i}{8}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{11±\sqrt{103}i}{8}을(를) 풉니다. 11에서 i\sqrt{103}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{-\sqrt{103}i+11}{8}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{11+\sqrt{103}i}{8} x=\frac{-\sqrt{103}i+11}{8}$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$4x^{2}-11x+30=16$$

수식의 양쪽에서 30을(를) 뺍니다.

$$4x^{2}-11x+30-30=16-30$$

자신에서 30을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$4x^{2}-11x=16-30$$

16에서 30을(를) 뺍니다.

$$4x^{2}-11x=-14$$

양쪽을 4(으)로 나눕니다.

$$\frac{4x^{2}-11x}{4}=-\frac{14}{4}$$

4(으)로 나누면 4(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x=-\frac{14}{4}$$

2을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{-14}{4}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x=-\frac{7}{2}$$

x 항의 계수인 -\frac{11}{4}을(를) 2(으)로 나눠서 -\frac{11}{8}을(를) 구합니다. 그런 다음 -\frac{11}{8}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x+\left(-\frac{11}{8}\right)^{2}=-\frac{7}{2}+\left(-\frac{11}{8}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 -\frac{11}{8}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}=-\frac{7}{2}+\frac{121}{64}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 -\frac{7}{2}을(를) \frac{121}{64}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}=-\frac{103}{64}$$

x^{2}-\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}을(를) 인수 분해합니다. 일반적으로 x^{2}+bx+c가 완전 제곱일 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}로 인수 분해될 수 있습니다.

$$\left(x-\frac{11}{8}\right)^{2}=-\frac{103}{64}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{8}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{103}{64}}$$

단순화합니다.

$$x-\frac{11}{8}=\frac{\sqrt{103}i}{8} x-\frac{11}{8}=-\frac{\sqrt{103}i}{8}$$

수식의 양쪽에 \frac{11}{8}을(를) 더합니다.

$$x=\frac{11+\sqrt{103}i}{8} x=\frac{-\sqrt{103}i+11}{8}$$