다음을 풀어보세요: 4x^2-10x=-12

$$4 x ^ { 2 } - 10 x = - 12$$

x에 대한 해 (complex solution)

$$x=\frac{5+\sqrt{23}i}{4}\approx 1.25+1.198957881i$$

$$x=\frac{-\sqrt{23}i+5}{4}\approx 1.25-1.198957881i$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$4x^{2}-10x=-12$$

수식의 양쪽에 12을(를) 더합니다.

$$4x^{2}-10x-\left(-12\right)=-12-\left(-12\right)$$

자신에서 -12을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$4x^{2}-10x-\left(-12\right)=0$$

0에서 -12을(를) 뺍니다.

$$4x^{2}-10x+12=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 4을(를) a로, -10을(를) b로, 12을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 4\times 12}}{2\times 4}$$

-10을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 4\times 12}}{2\times 4}$$

-4에 4을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-16\times 12}}{2\times 4}$$

-16에 12을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-192}}{2\times 4}$$

100을(를) -192에 추가합니다.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{-92}}{2\times 4}$$

-92의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±2\sqrt{23}i}{2\times 4}$$

-10의 반대는 10입니다.

$$x=\frac{10±2\sqrt{23}i}{2\times 4}$$

2에 4을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{10±2\sqrt{23}i}{8}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{10±2\sqrt{23}i}{8}을(를) 풉니다. 10을(를) 2i\sqrt{23}에 추가합니다.

$$x=\frac{10+2\sqrt{23}i}{8}$$

10+2i\sqrt{23}을(를) 8(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{5+\sqrt{23}i}{4}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{10±2\sqrt{23}i}{8}을(를) 풉니다. 10에서 2i\sqrt{23}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{-2\sqrt{23}i+10}{8}$$

10-2i\sqrt{23}을(를) 8(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{-\sqrt{23}i+5}{4}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{5+\sqrt{23}i}{4} x=\frac{-\sqrt{23}i+5}{4}$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$4x^{2}-10x=-12$$

양쪽을 4(으)로 나눕니다.

$$\frac{4x^{2}-10x}{4}=-\frac{12}{4}$$

4(으)로 나누면 4(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\left(-\frac{10}{4}\right)x=-\frac{12}{4}$$

2을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{-10}{4}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x=-\frac{12}{4}$$

-12을(를) 4(으)로 나눕니다.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x=-3$$

x 항의 계수인 -\frac{5}{2}을(를) 2(으)로 나눠서 -\frac{5}{4}을(를) 구합니다. 그런 다음 -\frac{5}{4}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}=-3+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 -\frac{5}{4}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=-3+\frac{25}{16}$$

-3을(를) \frac{25}{16}에 추가합니다.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=-\frac{23}{16}$$

인수 x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}=-\frac{23}{16}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{23}{16}}$$

단순화합니다.

$$x-\frac{5}{4}=\frac{\sqrt{23}i}{4} x-\frac{5}{4}=-\frac{\sqrt{23}i}{4}$$

수식의 양쪽에 \frac{5}{4}을(를) 더합니다.

$$x=\frac{5+\sqrt{23}i}{4} x=\frac{-\sqrt{23}i+5}{4}$$