다음을 풀어보세요: 4x^2+6x+1=0

$$4 x ^ { 2 } + 6 x + 1 = 0$$

x에 대한 해

$$x=\frac{\sqrt{5}-3}{4}\approx -0.190983006$$

$$x=\frac{-\sqrt{5}-3}{4}\approx -1.309016994$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$4x^{2}+6x+1=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 4을(를) a로, 6을(를) b로, 1을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 4}}{2\times 4}$$

6을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 4}}{2\times 4}$$

-4에 4을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-16}}{2\times 4}$$

36을(를) -16에 추가합니다.

$$x=\frac{-6±\sqrt{20}}{2\times 4}$$

20의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-6±2\sqrt{5}}{2\times 4}$$

2에 4을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-6±2\sqrt{5}}{8}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{-6±2\sqrt{5}}{8}을(를) 풉니다. -6을(를) 2\sqrt{5}에 추가합니다.

$$x=\frac{2\sqrt{5}-6}{8}$$

-6+2\sqrt{5}을(를) 8(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{\sqrt{5}-3}{4}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{-6±2\sqrt{5}}{8}을(를) 풉니다. -6에서 2\sqrt{5}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{-2\sqrt{5}-6}{8}$$

-6-2\sqrt{5}을(를) 8(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{-\sqrt{5}-3}{4}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{\sqrt{5}-3}{4} x=\frac{-\sqrt{5}-3}{4}$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$4x^{2}+6x+1=0$$

수식의 양쪽에서 1을(를) 뺍니다.

$$4x^{2}+6x+1-1=-1$$

자신에서 1을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$4x^{2}+6x=-1$$

양쪽을 4(으)로 나눕니다.

$$\frac{4x^{2}+6x}{4}=-\frac{1}{4}$$

4(으)로 나누면 4(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\frac{6}{4}x=-\frac{1}{4}$$

2을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{6}{4}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=-\frac{1}{4}$$

x 항의 계수인 \frac{3}{2}을(를) 2(으)로 나눠서 \frac{3}{4}을(를) 구합니다. 그런 다음 \frac{3}{4}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}=-\frac{1}{4}+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 \frac{3}{4}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=-\frac{1}{4}+\frac{9}{16}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 -\frac{1}{4}을(를) \frac{9}{16}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{5}{16}$$

x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}을(를) 인수 분해합니다. 일반적으로 x^{2}+bx+c가 완전 제곱일 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}로 인수 분해될 수 있습니다.

$$\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{5}{16}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5}{16}}$$

단순화합니다.

$$x+\frac{3}{4}=\frac{\sqrt{5}}{4} x+\frac{3}{4}=-\frac{\sqrt{5}}{4}$$

수식의 양쪽에서 \frac{3}{4}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{\sqrt{5}-3}{4} x=\frac{-\sqrt{5}-3}{4}$$