다음을 풀어보세요: 4x^2+48x-81=0

$$4 x ^ { 2 } + 48 x - 81 = 0$$

x에 대한 해

$$x = -\frac{27}{2} = -13\frac{1}{2} = -13.5$$

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

그룹화를 통한 인수 분해 사용 단계

수식을 계산하려면 그룹화를 통해 왼쪽을 인수 분해합니다. 우선 왼쪽을 4x^{2}+ax+bx-81(으)로 다시 작성해야 합니다. a 및 b를 찾으려면 해결할 시스템을 설정 하세요.

$$a+b=48 ab=4\left(-81\right)=-324$$

ab가 음수 이기 때문에 a 및 b에는 반대 기호가 있습니다. a+b이(가) 양수이므로 양수는 음수보다 큰 절대값을 가집니다. 제품 -324을(를) 제공하는 모든 정수 쌍을 나열합니다.

$$-1,324 -2,162 -3,108 -4,81 -6,54 -9,36 -12,27 -18,18$$

각 쌍의 합계를 계산합니다.

$$-1+324=323 -2+162=160 -3+108=105 -4+81=77 -6+54=48 -9+36=27 -12+27=15 -18+18=0$$

이 해답은 합계 48이(가) 도출되는 쌍입니다.

$$a=-6 b=54$$

4x^{2}+48x-81을(를) \left(4x^{2}-6x\right)+\left(54x-81\right)(으)로 다시 작성합니다.

$$\left(4x^{2}-6x\right)+\left(54x-81\right)$$

첫 번째 그룹 및 27에서 2x를 제한 합니다.

$$2x\left(2x-3\right)+27\left(2x-3\right)$$

분배 법칙을 사용하여 공통항 2x-3을(를) 인수 분해합니다.

$$\left(2x-3\right)\left(2x+27\right)$$

수식 솔루션을 찾으려면 2x-3=0을 해결 하 고, 2x+27=0.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{27}{2}$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$4x^{2}+48x-81=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 4을(를) a로, 48을(를) b로, -81을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-48±\sqrt{48^{2}-4\times 4\left(-81\right)}}{2\times 4}$$

48을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304-4\times 4\left(-81\right)}}{2\times 4}$$

-4에 4을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304-16\left(-81\right)}}{2\times 4}$$

-16에 -81을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304+1296}}{2\times 4}$$

2304을(를) 1296에 추가합니다.

$$x=\frac{-48±\sqrt{3600}}{2\times 4}$$

3600의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-48±60}{2\times 4}$$

2에 4을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-48±60}{8}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{-48±60}{8}을(를) 풉니다. -48을(를) 60에 추가합니다.

$$x=\frac{12}{8}$$

4을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{12}{8}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x=\frac{3}{2}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{-48±60}{8}을(를) 풉니다. -48에서 60을(를) 뺍니다.

$$x=-\frac{108}{8}$$

4을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{-108}{8}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x=-\frac{27}{2}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{27}{2}$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$4x^{2}+48x-81=0$$

수식의 양쪽에 81을(를) 더합니다.

$$4x^{2}+48x-81-\left(-81\right)=-\left(-81\right)$$

자신에서 -81을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$4x^{2}+48x=-\left(-81\right)$$

0에서 -81을(를) 뺍니다.

$$4x^{2}+48x=81$$

양쪽을 4(으)로 나눕니다.

$$\frac{4x^{2}+48x}{4}=\frac{81}{4}$$

4(으)로 나누면 4(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\frac{48}{4}x=\frac{81}{4}$$

48을(를) 4(으)로 나눕니다.

$$x^{2}+12x=\frac{81}{4}$$

x 항의 계수인 12을(를) 2(으)로 나눠서 6을(를) 구합니다. 그런 다음 6의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}+12x+6^{2}=\frac{81}{4}+6^{2}$$

6을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}+12x+36=\frac{81}{4}+36$$

\frac{81}{4}을(를) 36에 추가합니다.

$$x^{2}+12x+36=\frac{225}{4}$$

인수 x^{2}+12x+36. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x+6\right)^{2}=\frac{225}{4}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x+6\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{4}}$$

단순화합니다.

$$x+6=\frac{15}{2} x+6=-\frac{15}{2}$$

수식의 양쪽에서 6을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{27}{2}$$