다음을 풀어보세요: 4x^2+15x-25=0

$$4 x ^ { 2 } + 15 x - 25 = 0$$

x에 대한 해

$$x=-5$$

$$x = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4} = 1.25$$

그룹화를 통한 인수 분해 사용 단계

수식을 계산하려면 그룹화를 통해 왼쪽을 인수 분해합니다. 우선 왼쪽을 4x^{2}+ax+bx-25(으)로 다시 작성해야 합니다. a 및 b를 찾으려면 해결할 시스템을 설정 하세요.

$$a+b=15 ab=4\left(-25\right)=-100$$

ab가 음수 이기 때문에 a 및 b에는 반대 기호가 있습니다. a+b이(가) 양수이므로 양수는 음수보다 큰 절대값을 가집니다. 제품 -100을(를) 제공하는 모든 정수 쌍을 나열합니다.

$$-1,100 -2,50 -4,25 -5,20 -10,10$$

각 쌍의 합계를 계산합니다.

$$-1+100=99 -2+50=48 -4+25=21 -5+20=15 -10+10=0$$

이 해답은 합계 15이(가) 도출되는 쌍입니다.

$$a=-5 b=20$$

4x^{2}+15x-25을(를) \left(4x^{2}-5x\right)+\left(20x-25\right)(으)로 다시 작성합니다.

$$\left(4x^{2}-5x\right)+\left(20x-25\right)$$

첫 번째 그룹 및 5에서 x를 제한 합니다.

$$x\left(4x-5\right)+5\left(4x-5\right)$$

분배 법칙을 사용하여 공통항 4x-5을(를) 인수 분해합니다.

$$\left(4x-5\right)\left(x+5\right)$$

수식 솔루션을 찾으려면 4x-5=0을 해결 하 고, x+5=0.

$$x=\frac{5}{4} x=-5$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$4x^{2}+15x-25=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 4을(를) a로, 15을(를) b로, -25을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-15±\sqrt{15^{2}-4\times 4\left(-25\right)}}{2\times 4}$$

15을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-15±\sqrt{225-4\times 4\left(-25\right)}}{2\times 4}$$

-4에 4을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-15±\sqrt{225-16\left(-25\right)}}{2\times 4}$$

-16에 -25을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-15±\sqrt{225+400}}{2\times 4}$$

225을(를) 400에 추가합니다.

$$x=\frac{-15±\sqrt{625}}{2\times 4}$$

625의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-15±25}{2\times 4}$$

2에 4을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-15±25}{8}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{-15±25}{8}을(를) 풉니다. -15을(를) 25에 추가합니다.

$$x=\frac{10}{8}$$

2을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{10}{8}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x=\frac{5}{4}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{-15±25}{8}을(를) 풉니다. -15에서 25을(를) 뺍니다.

$$x=-\frac{40}{8}$$

-40을(를) 8(으)로 나눕니다.

$$x=-5$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{5}{4} x=-5$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$4x^{2}+15x-25=0$$

수식의 양쪽에 25을(를) 더합니다.

$$4x^{2}+15x-25-\left(-25\right)=-\left(-25\right)$$

자신에서 -25을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$4x^{2}+15x=-\left(-25\right)$$

0에서 -25을(를) 뺍니다.

$$4x^{2}+15x=25$$

양쪽을 4(으)로 나눕니다.

$$\frac{4x^{2}+15x}{4}=\frac{25}{4}$$

4(으)로 나누면 4(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\frac{15}{4}x=\frac{25}{4}$$

x 항의 계수인 \frac{15}{4}을(를) 2(으)로 나눠서 \frac{15}{8}을(를) 구합니다. 그런 다음 \frac{15}{8}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}+\frac{15}{4}x+\left(\frac{15}{8}\right)^{2}=\frac{25}{4}+\left(\frac{15}{8}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 \frac{15}{8}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}+\frac{15}{4}x+\frac{225}{64}=\frac{25}{4}+\frac{225}{64}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{25}{4}을(를) \frac{225}{64}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x^{2}+\frac{15}{4}x+\frac{225}{64}=\frac{625}{64}$$

인수 x^{2}+\frac{15}{4}x+\frac{225}{64}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x+\frac{15}{8}\right)^{2}=\frac{625}{64}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x+\frac{15}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{625}{64}}$$

단순화합니다.

$$x+\frac{15}{8}=\frac{25}{8} x+\frac{15}{8}=-\frac{25}{8}$$

수식의 양쪽에서 \frac{15}{8}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{5}{4} x=-5$$