다음을 풀어보세요: 4x^2+11x-20=0

$$4 x ^ { 2 } + 11 x - 20 = 0$$

x에 대한 해

$$x=-4$$

$$x = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4} = 1.25$$

그룹화를 통한 인수 분해 사용 단계

수식을 계산하려면 그룹화를 통해 왼쪽을 인수 분해합니다. 우선 왼쪽을 4x^{2}+ax+bx-20(으)로 다시 작성해야 합니다. a 및 b를 찾으려면 해결할 시스템을 설정 하세요.

$$a+b=11 ab=4\left(-20\right)=-80$$

ab가 음수 이기 때문에 a 및 b에는 반대 기호가 있습니다. a+b이(가) 양수이므로 양수는 음수보다 큰 절대값을 가집니다. 제품 -80을(를) 제공하는 모든 정수 쌍을 나열합니다.

$$-1,80 -2,40 -4,20 -5,16 -8,10$$

각 쌍의 합계를 계산합니다.

$$-1+80=79 -2+40=38 -4+20=16 -5+16=11 -8+10=2$$

이 해답은 합계 11이(가) 도출되는 쌍입니다.

$$a=-5 b=16$$

4x^{2}+11x-20을(를) \left(4x^{2}-5x\right)+\left(16x-20\right)(으)로 다시 작성합니다.

$$\left(4x^{2}-5x\right)+\left(16x-20\right)$$

첫 번째 그룹 및 4에서 x를 제한 합니다.

$$x\left(4x-5\right)+4\left(4x-5\right)$$

분배 법칙을 사용하여 공통항 4x-5을(를) 인수 분해합니다.

$$\left(4x-5\right)\left(x+4\right)$$

수식 솔루션을 찾으려면 4x-5=0을 해결 하 고, x+4=0.

$$x=\frac{5}{4} x=-4$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$4x^{2}+11x-20=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 4을(를) a로, 11을(를) b로, -20을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 4\left(-20\right)}}{2\times 4}$$

11을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 4\left(-20\right)}}{2\times 4}$$

-4에 4을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-16\left(-20\right)}}{2\times 4}$$

-16에 -20을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121+320}}{2\times 4}$$

121을(를) 320에 추가합니다.

$$x=\frac{-11±\sqrt{441}}{2\times 4}$$

441의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-11±21}{2\times 4}$$

2에 4을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-11±21}{8}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{-11±21}{8}을(를) 풉니다. -11을(를) 21에 추가합니다.

$$x=\frac{10}{8}$$

2을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{10}{8}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x=\frac{5}{4}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{-11±21}{8}을(를) 풉니다. -11에서 21을(를) 뺍니다.

$$x=-\frac{32}{8}$$

-32을(를) 8(으)로 나눕니다.

$$x=-4$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{5}{4} x=-4$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$4x^{2}+11x-20=0$$

수식의 양쪽에 20을(를) 더합니다.

$$4x^{2}+11x-20-\left(-20\right)=-\left(-20\right)$$

자신에서 -20을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$4x^{2}+11x=-\left(-20\right)$$

0에서 -20을(를) 뺍니다.

$$4x^{2}+11x=20$$

양쪽을 4(으)로 나눕니다.

$$\frac{4x^{2}+11x}{4}=\frac{20}{4}$$

4(으)로 나누면 4(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\frac{11}{4}x=\frac{20}{4}$$

20을(를) 4(으)로 나눕니다.

$$x^{2}+\frac{11}{4}x=5$$

x 항의 계수인 \frac{11}{4}을(를) 2(으)로 나눠서 \frac{11}{8}을(를) 구합니다. 그런 다음 \frac{11}{8}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}+\frac{11}{4}x+\left(\frac{11}{8}\right)^{2}=5+\left(\frac{11}{8}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 \frac{11}{8}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}+\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}=5+\frac{121}{64}$$

5을(를) \frac{121}{64}에 추가합니다.

$$x^{2}+\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}=\frac{441}{64}$$

인수 x^{2}+\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x+\frac{11}{8}\right)^{2}=\frac{441}{64}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{441}{64}}$$

단순화합니다.

$$x+\frac{11}{8}=\frac{21}{8} x+\frac{11}{8}=-\frac{21}{8}$$

수식의 양쪽에서 \frac{11}{8}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{5}{4} x=-4$$