다음을 풀어보세요: 4v^2-20v+17=0

$$4 v ^ { 2 } - 20 v + 17 = 0$$

v에 대한 해

$$v=\sqrt{2}+\frac{5}{2}\approx 3.914213562$$

$$v=\frac{5}{2}-\sqrt{2}\approx 1.085786438$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$4v^{2}-20v+17=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 4을(를) a로, -20을(를) b로, 17을(를) c로 치환합니다.

$$v=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{\left(-20\right)^{2}-4\times 4\times 17}}{2\times 4}$$

-20을(를) 제곱합니다.

$$v=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-4\times 4\times 17}}{2\times 4}$$

-4에 4을(를) 곱합니다.

$$v=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-16\times 17}}{2\times 4}$$

-16에 17을(를) 곱합니다.

$$v=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-272}}{2\times 4}$$

400을(를) -272에 추가합니다.

$$v=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{128}}{2\times 4}$$

128의 제곱근을 구합니다.

$$v=\frac{-\left(-20\right)±8\sqrt{2}}{2\times 4}$$

-20의 반대는 20입니다.

$$v=\frac{20±8\sqrt{2}}{2\times 4}$$

2에 4을(를) 곱합니다.

$$v=\frac{20±8\sqrt{2}}{8}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 v=\frac{20±8\sqrt{2}}{8}을(를) 풉니다. 20을(를) 8\sqrt{2}에 추가합니다.

$$v=\frac{8\sqrt{2}+20}{8}$$

20+8\sqrt{2}을(를) 8(으)로 나눕니다.

$$v=\sqrt{2}+\frac{5}{2}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 v=\frac{20±8\sqrt{2}}{8}을(를) 풉니다. 20에서 8\sqrt{2}을(를) 뺍니다.

$$v=\frac{20-8\sqrt{2}}{8}$$

20-8\sqrt{2}을(를) 8(으)로 나눕니다.

$$v=\frac{5}{2}-\sqrt{2}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$v=\sqrt{2}+\frac{5}{2} v=\frac{5}{2}-\sqrt{2}$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$4v^{2}-20v+17=0$$

수식의 양쪽에서 17을(를) 뺍니다.

$$4v^{2}-20v+17-17=-17$$

자신에서 17을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$4v^{2}-20v=-17$$

양쪽을 4(으)로 나눕니다.

$$\frac{4v^{2}-20v}{4}=-\frac{17}{4}$$

4(으)로 나누면 4(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$v^{2}+\left(-\frac{20}{4}\right)v=-\frac{17}{4}$$

-20을(를) 4(으)로 나눕니다.

$$v^{2}-5v=-\frac{17}{4}$$

x 항의 계수인 -5을(를) 2(으)로 나눠서 -\frac{5}{2}을(를) 구합니다. 그런 다음 -\frac{5}{2}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$v^{2}-5v+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=-\frac{17}{4}+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 -\frac{5}{2}을(를) 제곱합니다.

$$v^{2}-5v+\frac{25}{4}=\frac{-17+25}{4}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 -\frac{17}{4}을(를) \frac{25}{4}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$v^{2}-5v+\frac{25}{4}=2$$

인수 v^{2}-5v+\frac{25}{4}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(v-\frac{5}{2}\right)^{2}=2$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(v-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{2}$$

단순화합니다.

$$v-\frac{5}{2}=\sqrt{2} v-\frac{5}{2}=-\sqrt{2}$$

수식의 양쪽에 \frac{5}{2}을(를) 더합니다.

$$v=\sqrt{2}+\frac{5}{2} v=\frac{5}{2}-\sqrt{2}$$