다음을 풀어보세요: 4n^2-7n=11

$$4 n ^ { 2 } - 7 n = 11$$

n에 대한 해

$$n=-1$$

$$n = \frac{11}{4} = 2\frac{3}{4} = 2.75$$

그룹화를 통한 인수 분해 사용 단계

양쪽 모두에서 11을(를) 뺍니다.

$$4n^{2}-7n-11=0$$

수식을 계산하려면 그룹화를 통해 왼쪽을 인수 분해합니다. 우선 왼쪽을 4n^{2}+an+bn-11(으)로 다시 작성해야 합니다. a 및 b를 찾으려면 해결할 시스템을 설정 하세요.

$$a+b=-7 ab=4\left(-11\right)=-44$$

ab가 음수 이기 때문에 a 및 b에는 반대 기호가 있습니다. a+b 음수 이기 때문에 음수 값은 양수 보다 더 큰 절대값을 가집니다. 제품 -44을(를) 제공하는 모든 정수 쌍을 나열합니다.

$$1,-44 2,-22 4,-11$$

각 쌍의 합계를 계산합니다.

$$1-44=-43 2-22=-20 4-11=-7$$

이 해답은 합계 -7이(가) 도출되는 쌍입니다.

$$a=-11 b=4$$

4n^{2}-7n-11을(를) \left(4n^{2}-11n\right)+\left(4n-11\right)(으)로 다시 작성합니다.

$$\left(4n^{2}-11n\right)+\left(4n-11\right)$$

인수분해 4n^{2}-11n에서 n를 뽑아냅니다.

$$n\left(4n-11\right)+4n-11$$

분배 법칙을 사용하여 공통항 4n-11을(를) 인수 분해합니다.

$$\left(4n-11\right)\left(n+1\right)$$

수식 솔루션을 찾으려면 4n-11=0을 해결 하 고, n+1=0.

$$n=\frac{11}{4} n=-1$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$4n^{2}-7n=11$$

수식의 양쪽에서 11을(를) 뺍니다.

$$4n^{2}-7n-11=11-11$$

자신에서 11을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$4n^{2}-7n-11=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 4을(를) a로, -7을(를) b로, -11을(를) c로 치환합니다.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 4\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

-7을(를) 제곱합니다.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 4\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

-4에 4을(를) 곱합니다.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-16\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

-16에 -11을(를) 곱합니다.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+176}}{2\times 4}$$

49을(를) 176에 추가합니다.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{225}}{2\times 4}$$

225의 제곱근을 구합니다.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±15}{2\times 4}$$

-7의 반대는 7입니다.

$$n=\frac{7±15}{2\times 4}$$

2에 4을(를) 곱합니다.

$$n=\frac{7±15}{8}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 n=\frac{7±15}{8}을(를) 풉니다. 7을(를) 15에 추가합니다.

$$n=\frac{22}{8}$$

2을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{22}{8}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$n=\frac{11}{4}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 n=\frac{7±15}{8}을(를) 풉니다. 7에서 15을(를) 뺍니다.

$$n=-\frac{8}{8}$$

-8을(를) 8(으)로 나눕니다.

$$n=-1$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$n=\frac{11}{4} n=-1$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$4n^{2}-7n=11$$

양쪽을 4(으)로 나눕니다.

$$\frac{4n^{2}-7n}{4}=\frac{11}{4}$$

4(으)로 나누면 4(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$n^{2}-\frac{7}{4}n=\frac{11}{4}$$

x 항의 계수인 -\frac{7}{4}을(를) 2(으)로 나눠서 -\frac{7}{8}을(를) 구합니다. 그런 다음 -\frac{7}{8}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$n^{2}-\frac{7}{4}n+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{11}{4}+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 -\frac{7}{8}을(를) 제곱합니다.

$$n^{2}-\frac{7}{4}n+\frac{49}{64}=\frac{11}{4}+\frac{49}{64}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{11}{4}을(를) \frac{49}{64}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$n^{2}-\frac{7}{4}n+\frac{49}{64}=\frac{225}{64}$$

인수 n^{2}-\frac{7}{4}n+\frac{49}{64}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(n-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{225}{64}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(n-\frac{7}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{64}}$$

단순화합니다.

$$n-\frac{7}{8}=\frac{15}{8} n-\frac{7}{8}=-\frac{15}{8}$$

수식의 양쪽에 \frac{7}{8}을(를) 더합니다.

$$n=\frac{11}{4} n=-1$$