다음을 풀어보세요: 4(x^2+1)(2x^2+1)=5(x^2-1)^2

$$4 ( x ^ { 2 } + 1 ) ( 2 x ^ { 2 } + 1 ) = 5 ( x ^ { 2 } - 1 ) ^ { 2 }$$

x에 대한 해 (complex solution)

$$x=\frac{i\sqrt{6\sqrt{31}+33}}{3}\approx 2.716341211i$$

$$x=-\frac{i\sqrt{6\sqrt{31}+33}}{3}\approx -0-2.716341211i$$

$$x=-\frac{\sqrt{6\sqrt{31}-33}}{3}\approx -0.212547035$$

$$x=\frac{\sqrt{6\sqrt{31}-33}}{3}\approx 0.212547035$$

근의 공식을 사용한 단계

분배 법칙을 사용하여 4에 x^{2}+1(을)를 곱합니다.

$$\left(4x^{2}+4\right)\left(2x^{2}+1\right)=5\left(x^{2}-1\right)^{2}$$

분배 법칙을 사용하여 4x^{2}+4에 2x^{2}+1(을)를 곱하고 동류항을 결합합니다.

$$8x^{4}+12x^{2}+4=5\left(x^{2}-1\right)^{2}$$

이항 정리 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}을(를) \left(x^{2}-1\right)^{2}을(를) 확장합니다.

$$8x^{4}+12x^{2}+4=5\left(\left(x^{2}\right)^{2}-2x^{2}+1\right)$$

다른 곱으로 제곱하려면 지수를 곱합니다. 2과(와) 2을(를) 곱하여 4을(를) 구합니다.

$$8x^{4}+12x^{2}+4=5\left(x^{4}-2x^{2}+1\right)$$

분배 법칙을 사용하여 5에 x^{4}-2x^{2}+1(을)를 곱합니다.

$$8x^{4}+12x^{2}+4=5x^{4}-10x^{2}+5$$

양쪽 모두에서 5x^{4}을(를) 뺍니다.

$$8x^{4}+12x^{2}+4-5x^{4}=-10x^{2}+5$$

8x^{4}과(와) -5x^{4}을(를) 결합하여 3x^{4}(을)를 구합니다.

$$3x^{4}+12x^{2}+4=-10x^{2}+5$$

양쪽에 10x^{2}을(를) 더합니다.

$$3x^{4}+12x^{2}+4+10x^{2}=5$$

12x^{2}과(와) 10x^{2}을(를) 결합하여 22x^{2}(을)를 구합니다.

$$3x^{4}+22x^{2}+4=5$$

양쪽 모두에서 5을(를) 뺍니다.

$$3x^{4}+22x^{2}+4-5=0$$

4에서 5을(를) 빼고 -1을(를) 구합니다.

$$3x^{4}+22x^{2}-1=0$$

x^{2}에 대한 대체 t입니다.

$$3t^{2}+22t-1=0$$

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}을(를) 사용하여 해를 찾을 수 있습니다. 근의 공식에서 a을(를) 3(으)로, b을(를) 22(으)로, c을(를) -1(으)로 대체합니다.

$$t=\frac{-22±\sqrt{22^{2}-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

계산을 합니다.

$$t=\frac{-22±4\sqrt{31}}{6}$$

±이(가) 더하기일 때와 ±이(가) 빼기일 때 t=\frac{-22±4\sqrt{31}}{6} 수식의 해를 찾습니다.

$$t=\frac{2\sqrt{31}-11}{3} t=\frac{-2\sqrt{31}-11}{3}$$

x=t^{2} 후에는 각 t에 대한 x=±\sqrt{t}을(를) 평가하여 해답을 얻을 수 있습니다.

$$x=-\sqrt{\frac{2\sqrt{31}-11}{3}} x=\sqrt{\frac{2\sqrt{31}-11}{3}} x=-i\sqrt{\frac{2\sqrt{31}+11}{3}} x=i\sqrt{\frac{2\sqrt{31}+11}{3}}$$

x에 대한 해

$$x=-\frac{\sqrt{6\sqrt{31}-33}}{3}\approx -0.212547035$$

$$x=\frac{\sqrt{6\sqrt{31}-33}}{3}\approx 0.212547035$$

근의 공식을 사용한 단계

분배 법칙을 사용하여 4에 x^{2}+1(을)를 곱합니다.

$$\left(4x^{2}+4\right)\left(2x^{2}+1\right)=5\left(x^{2}-1\right)^{2}$$

분배 법칙을 사용하여 4x^{2}+4에 2x^{2}+1(을)를 곱하고 동류항을 결합합니다.

$$8x^{4}+12x^{2}+4=5\left(x^{2}-1\right)^{2}$$

이항 정리 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}을(를) \left(x^{2}-1\right)^{2}을(를) 확장합니다.

$$8x^{4}+12x^{2}+4=5\left(\left(x^{2}\right)^{2}-2x^{2}+1\right)$$

다른 곱으로 제곱하려면 지수를 곱합니다. 2과(와) 2을(를) 곱하여 4을(를) 구합니다.

$$8x^{4}+12x^{2}+4=5\left(x^{4}-2x^{2}+1\right)$$

분배 법칙을 사용하여 5에 x^{4}-2x^{2}+1(을)를 곱합니다.

$$8x^{4}+12x^{2}+4=5x^{4}-10x^{2}+5$$

양쪽 모두에서 5x^{4}을(를) 뺍니다.

$$8x^{4}+12x^{2}+4-5x^{4}=-10x^{2}+5$$

8x^{4}과(와) -5x^{4}을(를) 결합하여 3x^{4}(을)를 구합니다.

$$3x^{4}+12x^{2}+4=-10x^{2}+5$$

양쪽에 10x^{2}을(를) 더합니다.

$$3x^{4}+12x^{2}+4+10x^{2}=5$$

12x^{2}과(와) 10x^{2}을(를) 결합하여 22x^{2}(을)를 구합니다.

$$3x^{4}+22x^{2}+4=5$$

양쪽 모두에서 5을(를) 뺍니다.

$$3x^{4}+22x^{2}+4-5=0$$

4에서 5을(를) 빼고 -1을(를) 구합니다.

$$3x^{4}+22x^{2}-1=0$$

x^{2}에 대한 대체 t입니다.

$$3t^{2}+22t-1=0$$

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}을(를) 사용하여 해를 찾을 수 있습니다. 근의 공식에서 a을(를) 3(으)로, b을(를) 22(으)로, c을(를) -1(으)로 대체합니다.

$$t=\frac{-22±\sqrt{22^{2}-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

계산을 합니다.

$$t=\frac{-22±4\sqrt{31}}{6}$$

±이(가) 더하기일 때와 ±이(가) 빼기일 때 t=\frac{-22±4\sqrt{31}}{6} 수식의 해를 찾습니다.

$$t=\frac{2\sqrt{31}-11}{3} t=\frac{-2\sqrt{31}-11}{3}$$

x=t^{2} 후에는 양수 t에 대한 x=±\sqrt{t}을(를) 평가하여 해답을 얻을 수 있습니다.

$$x=\sqrt{\frac{2\sqrt{31}-11}{3}} x=-\sqrt{\frac{2\sqrt{31}-11}{3}}$$