다음을 풀어보세요: 4x^2-4x-16=0

$$4 { x }^{ 2 } -4x-16=0$$

x에 대한 해

$$x = \frac{\sqrt{17} + 1}{2} \approx 2.561552813$$

$$x=\frac{1-\sqrt{17}}{2}\approx -1.561552813$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$4x^{2}-4x-16=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 4을(를) a로, -4을(를) b로, -16을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 4\left(-16\right)}}{2\times 4}$$

-4을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 4\left(-16\right)}}{2\times 4}$$

-4에 4을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-16\left(-16\right)}}{2\times 4}$$

-16에 -16을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+256}}{2\times 4}$$

16을(를) 256에 추가합니다.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{272}}{2\times 4}$$

272의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±4\sqrt{17}}{2\times 4}$$

-4의 반대는 4입니다.

$$x=\frac{4±4\sqrt{17}}{2\times 4}$$

2에 4을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{4±4\sqrt{17}}{8}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{4±4\sqrt{17}}{8}을(를) 풉니다. 4을(를) 4\sqrt{17}에 추가합니다.

$$x=\frac{4\sqrt{17}+4}{8}$$

4+4\sqrt{17}을(를) 8(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{\sqrt{17}+1}{2}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{4±4\sqrt{17}}{8}을(를) 풉니다. 4에서 4\sqrt{17}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{4-4\sqrt{17}}{8}$$

4-4\sqrt{17}을(를) 8(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1-\sqrt{17}}{2}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{\sqrt{17}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{17}}{2}$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$4x^{2}-4x-16=0$$

수식의 양쪽에 16을(를) 더합니다.

$$4x^{2}-4x-16-\left(-16\right)=-\left(-16\right)$$

자신에서 -16을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$4x^{2}-4x=-\left(-16\right)$$

0에서 -16을(를) 뺍니다.

$$4x^{2}-4x=16$$

양쪽을 4(으)로 나눕니다.

$$\frac{4x^{2}-4x}{4}=\frac{16}{4}$$

4(으)로 나누면 4(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\left(-\frac{4}{4}\right)x=\frac{16}{4}$$

-4을(를) 4(으)로 나눕니다.

$$x^{2}-x=\frac{16}{4}$$

16을(를) 4(으)로 나눕니다.

$$x^{2}-x=4$$

x 항의 계수인 -1을(를) 2(으)로 나눠서 -\frac{1}{2}을(를) 구합니다. 그런 다음 -\frac{1}{2}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=4+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 -\frac{1}{2}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=4+\frac{1}{4}$$

4을(를) \frac{1}{4}에 추가합니다.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{17}{4}$$

인수 x^{2}-x+\frac{1}{4}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{17}{4}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{17}{4}}$$

단순화합니다.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{17}}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{17}}{2}$$

수식의 양쪽에 \frac{1}{2}을(를) 더합니다.

$$x=\frac{\sqrt{17}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{17}}{2}$$