다음을 풀어보세요: 4x^2-4x-15=0

$$4 { x }^{ 2 } -4x-15 = 0$$

x에 대한 해

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1.5$$

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2.5$$

그룹화를 통한 인수 분해 사용 단계

수식을 계산하려면 그룹화를 통해 왼쪽을 인수 분해합니다. 우선 왼쪽을 4x^{2}+ax+bx-15(으)로 다시 작성해야 합니다. a 및 b를 찾으려면 해결할 시스템을 설정 하세요.

$$a+b=-4 ab=4\left(-15\right)=-60$$

ab가 음수 이기 때문에 a 및 b에는 반대 기호가 있습니다. a+b 음수 이기 때문에 음수 값은 양수 보다 더 큰 절대값을 가집니다. 제품 -60을(를) 제공하는 모든 정수 쌍을 나열합니다.

$$1,-60 2,-30 3,-20 4,-15 5,-12 6,-10$$

각 쌍의 합계를 계산합니다.

$$1-60=-59 2-30=-28 3-20=-17 4-15=-11 5-12=-7 6-10=-4$$

이 해답은 합계 -4이(가) 도출되는 쌍입니다.

$$a=-10 b=6$$

4x^{2}-4x-15을(를) \left(4x^{2}-10x\right)+\left(6x-15\right)(으)로 다시 작성합니다.

$$\left(4x^{2}-10x\right)+\left(6x-15\right)$$

첫 번째 그룹 및 3에서 2x를 제한 합니다.

$$2x\left(2x-5\right)+3\left(2x-5\right)$$

분배 법칙을 사용하여 공통항 2x-5을(를) 인수 분해합니다.

$$\left(2x-5\right)\left(2x+3\right)$$

수식 솔루션을 찾으려면 2x-5=0을 해결 하 고, 2x+3=0.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{3}{2}$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$4x^{2}-4x-15=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 4을(를) a로, -4을(를) b로, -15을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 4\left(-15\right)}}{2\times 4}$$

-4을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 4\left(-15\right)}}{2\times 4}$$

-4에 4을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-16\left(-15\right)}}{2\times 4}$$

-16에 -15을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+240}}{2\times 4}$$

16을(를) 240에 추가합니다.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{256}}{2\times 4}$$

256의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±16}{2\times 4}$$

-4의 반대는 4입니다.

$$x=\frac{4±16}{2\times 4}$$

2에 4을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{4±16}{8}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{4±16}{8}을(를) 풉니다. 4을(를) 16에 추가합니다.

$$x=\frac{20}{8}$$

4을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{20}{8}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x=\frac{5}{2}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{4±16}{8}을(를) 풉니다. 4에서 16을(를) 뺍니다.

$$x=-\frac{12}{8}$$

4을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{-12}{8}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x=-\frac{3}{2}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{3}{2}$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$4x^{2}-4x-15=0$$

수식의 양쪽에 15을(를) 더합니다.

$$4x^{2}-4x-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

자신에서 -15을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$4x^{2}-4x=-\left(-15\right)$$

0에서 -15을(를) 뺍니다.

$$4x^{2}-4x=15$$

양쪽을 4(으)로 나눕니다.

$$\frac{4x^{2}-4x}{4}=\frac{15}{4}$$

4(으)로 나누면 4(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\left(-\frac{4}{4}\right)x=\frac{15}{4}$$

-4을(를) 4(으)로 나눕니다.

$$x^{2}-x=\frac{15}{4}$$

x 항의 계수인 -1을(를) 2(으)로 나눠서 -\frac{1}{2}을(를) 구합니다. 그런 다음 -\frac{1}{2}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{15}{4}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 -\frac{1}{2}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{15+1}{4}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{15}{4}을(를) \frac{1}{4}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=4$$

인수 x^{2}-x+\frac{1}{4}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=4$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{4}$$

단순화합니다.

$$x-\frac{1}{2}=2 x-\frac{1}{2}=-2$$

수식의 양쪽에 \frac{1}{2}을(를) 더합니다.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{3}{2}$$