다음을 풀어보세요: 4x^2+8x+20=0

$$4 { x }^{ 2 } +8x+20 = 0$$

x에 대한 해 (complex solution)

$$x=-1+2i$$

$$x=-1-2i$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$4x^{2}+8x+20=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 4을(를) a로, 8을(를) b로, 20을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 4\times 20}}{2\times 4}$$

8을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\times 4\times 20}}{2\times 4}$$

-4에 4을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-16\times 20}}{2\times 4}$$

-16에 20을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-320}}{2\times 4}$$

64을(를) -320에 추가합니다.

$$x=\frac{-8±\sqrt{-256}}{2\times 4}$$

-256의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-8±16i}{2\times 4}$$

2에 4을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-8±16i}{8}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{-8±16i}{8}을(를) 풉니다. -8을(를) 16i에 추가합니다.

$$x=\frac{-8+16i}{8}$$

-8+16i을(를) 8(으)로 나눕니다.

$$x=-1+2i$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{-8±16i}{8}을(를) 풉니다. -8에서 16i을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{-8-16i}{8}$$

-8-16i을(를) 8(으)로 나눕니다.

$$x=-1-2i$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=-1+2i x=-1-2i$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$4x^{2}+8x+20=0$$

수식의 양쪽에서 20을(를) 뺍니다.

$$4x^{2}+8x+20-20=-20$$

자신에서 20을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$4x^{2}+8x=-20$$

양쪽을 4(으)로 나눕니다.

$$\frac{4x^{2}+8x}{4}=-\frac{20}{4}$$

4(으)로 나누면 4(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\frac{8}{4}x=-\frac{20}{4}$$

8을(를) 4(으)로 나눕니다.

$$x^{2}+2x=-\frac{20}{4}$$

-20을(를) 4(으)로 나눕니다.

$$x^{2}+2x=-5$$

x 항의 계수인 2을(를) 2(으)로 나눠서 1을(를) 구합니다. 그런 다음 1의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}+2x+1^{2}=-5+1^{2}$$

1을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}+2x+1=-5+1$$

-5을(를) 1에 추가합니다.

$$x^{2}+2x+1=-4$$

인수 x^{2}+2x+1. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x+1\right)^{2}=-4$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{-4}$$

단순화합니다.

$$x+1=2i x+1=-2i$$

수식의 양쪽에서 1을(를) 뺍니다.

$$x=-1+2i x=-1-2i$$