다음을 풀어보세요: 4x^2+4x=120

$$4 { x }^{ 2 } +4x=120$$

x에 대한 해

$$x=-6$$

$$x=5$$

그룹화를 통한 인수 분해 사용 단계

양쪽 모두에서 120을(를) 뺍니다.

$$4x^{2}+4x-120=0$$

양쪽을 4(으)로 나눕니다.

$$x^{2}+x-30=0$$

수식을 계산하려면 그룹화를 통해 왼쪽을 인수 분해합니다. 우선 왼쪽을 x^{2}+ax+bx-30(으)로 다시 작성해야 합니다. a 및 b를 찾으려면 해결할 시스템을 설정 하세요.

$$a+b=1 ab=1\left(-30\right)=-30$$

ab가 음수 이기 때문에 a 및 b에는 반대 기호가 있습니다. a+b이(가) 양수이므로 양수는 음수보다 큰 절대값을 가집니다. 제품 -30을(를) 제공하는 모든 정수 쌍을 나열합니다.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

각 쌍의 합계를 계산합니다.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

이 해답은 합계 1이(가) 도출되는 쌍입니다.

$$a=-5 b=6$$

x^{2}+x-30을(를) \left(x^{2}-5x\right)+\left(6x-30\right)(으)로 다시 작성합니다.

$$\left(x^{2}-5x\right)+\left(6x-30\right)$$

첫 번째 그룹 및 6에서 x를 제한 합니다.

$$x\left(x-5\right)+6\left(x-5\right)$$

분배 법칙을 사용하여 공통항 x-5을(를) 인수 분해합니다.

$$\left(x-5\right)\left(x+6\right)$$

수식 솔루션을 찾으려면 x-5=0을 해결 하 고, x+6=0.

$$x=5 x=-6$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$4x^{2}+4x=120$$

수식의 양쪽에서 120을(를) 뺍니다.

$$4x^{2}+4x-120=120-120$$

자신에서 120을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$4x^{2}+4x-120=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 4을(를) a로, 4을(를) b로, -120을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 4\left(-120\right)}}{2\times 4}$$

4을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 4\left(-120\right)}}{2\times 4}$$

-4에 4을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-16\left(-120\right)}}{2\times 4}$$

-16에 -120을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+1920}}{2\times 4}$$

16을(를) 1920에 추가합니다.

$$x=\frac{-4±\sqrt{1936}}{2\times 4}$$

1936의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-4±44}{2\times 4}$$

2에 4을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-4±44}{8}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{-4±44}{8}을(를) 풉니다. -4을(를) 44에 추가합니다.

$$x=\frac{40}{8}$$

40을(를) 8(으)로 나눕니다.

$$x=5$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{-4±44}{8}을(를) 풉니다. -4에서 44을(를) 뺍니다.

$$x=-\frac{48}{8}$$

-48을(를) 8(으)로 나눕니다.

$$x=-6$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=5 x=-6$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$4x^{2}+4x=120$$

양쪽을 4(으)로 나눕니다.

$$\frac{4x^{2}+4x}{4}=\frac{120}{4}$$

4(으)로 나누면 4(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\frac{4}{4}x=\frac{120}{4}$$

4을(를) 4(으)로 나눕니다.

$$x^{2}+x=\frac{120}{4}$$

120을(를) 4(으)로 나눕니다.

$$x^{2}+x=30$$

x 항의 계수인 1을(를) 2(으)로 나눠서 \frac{1}{2}을(를) 구합니다. 그런 다음 \frac{1}{2}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=30+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 \frac{1}{2}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=30+\frac{1}{4}$$

30을(를) \frac{1}{4}에 추가합니다.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{121}{4}$$

인수 x^{2}+x+\frac{1}{4}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

단순화합니다.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{11}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{11}{2}$$

수식의 양쪽에서 \frac{1}{2}을(를) 뺍니다.

$$x=5 x=-6$$