다음을 풀어보세요: 4x^2+4x=1

$$4 { x }^{ 2 } +4x = 1$$

x에 대한 해

$$x=\frac{\sqrt{2}-1}{2}\approx 0.207106781$$

$$x=\frac{-\sqrt{2}-1}{2}\approx -1.207106781$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$4x^{2}+4x=1$$

수식의 양쪽에서 1을(를) 뺍니다.

$$4x^{2}+4x-1=1-1$$

자신에서 1을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$4x^{2}+4x-1=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 4을(를) a로, 4을(를) b로, -1을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

4을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

-4에 4을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-16\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

-16에 -1을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+16}}{2\times 4}$$

16을(를) 16에 추가합니다.

$$x=\frac{-4±\sqrt{32}}{2\times 4}$$

32의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-4±4\sqrt{2}}{2\times 4}$$

2에 4을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-4±4\sqrt{2}}{8}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{-4±4\sqrt{2}}{8}을(를) 풉니다. -4을(를) 4\sqrt{2}에 추가합니다.

$$x=\frac{4\sqrt{2}-4}{8}$$

-4+4\sqrt{2}을(를) 8(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{\sqrt{2}-1}{2}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{-4±4\sqrt{2}}{8}을(를) 풉니다. -4에서 4\sqrt{2}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{-4\sqrt{2}-4}{8}$$

-4-4\sqrt{2}을(를) 8(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{-\sqrt{2}-1}{2}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{\sqrt{2}-1}{2} x=\frac{-\sqrt{2}-1}{2}$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$4x^{2}+4x=1$$

양쪽을 4(으)로 나눕니다.

$$\frac{4x^{2}+4x}{4}=\frac{1}{4}$$

4(으)로 나누면 4(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\frac{4}{4}x=\frac{1}{4}$$

4을(를) 4(으)로 나눕니다.

$$x^{2}+x=\frac{1}{4}$$

x 항의 계수인 1을(를) 2(으)로 나눠서 \frac{1}{2}을(를) 구합니다. 그런 다음 \frac{1}{2}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 \frac{1}{2}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{1+1}{4}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{1}{4}을(를) \frac{1}{4}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$$

인수 x^{2}+x+\frac{1}{4}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{2}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{2}}$$

단순화합니다.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$$

수식의 양쪽에서 \frac{1}{2}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{\sqrt{2}-1}{2} x=\frac{-\sqrt{2}-1}{2}$$