다음을 풀어보세요: 4a^2-5a+2=0

$$4 { a }^{ 2 } -5a+2 = 0$$

a에 대한 해

$$a=\frac{5+\sqrt{7}i}{8}\approx 0.625+0.330718914i$$

$$a=\frac{-\sqrt{7}i+5}{8}\approx 0.625-0.330718914i$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$4a^{2}-5a+2=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 4을(를) a로, -5을(를) b로, 2을(를) c로 치환합니다.

$$a=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 4\times 2}}{2\times 4}$$

-5을(를) 제곱합니다.

$$a=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 4\times 2}}{2\times 4}$$

-4에 4을(를) 곱합니다.

$$a=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-16\times 2}}{2\times 4}$$

-16에 2을(를) 곱합니다.

$$a=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-32}}{2\times 4}$$

25을(를) -32에 추가합니다.

$$a=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{-7}}{2\times 4}$$

-7의 제곱근을 구합니다.

$$a=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{7}i}{2\times 4}$$

-5의 반대는 5입니다.

$$a=\frac{5±\sqrt{7}i}{2\times 4}$$

2에 4을(를) 곱합니다.

$$a=\frac{5±\sqrt{7}i}{8}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 a=\frac{5±\sqrt{7}i}{8}을(를) 풉니다. 5을(를) i\sqrt{7}에 추가합니다.

$$a=\frac{5+\sqrt{7}i}{8}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 a=\frac{5±\sqrt{7}i}{8}을(를) 풉니다. 5에서 i\sqrt{7}을(를) 뺍니다.

$$a=\frac{-\sqrt{7}i+5}{8}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$a=\frac{5+\sqrt{7}i}{8} a=\frac{-\sqrt{7}i+5}{8}$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$4a^{2}-5a+2=0$$

수식의 양쪽에서 2을(를) 뺍니다.

$$4a^{2}-5a+2-2=-2$$

자신에서 2을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$4a^{2}-5a=-2$$

양쪽을 4(으)로 나눕니다.

$$\frac{4a^{2}-5a}{4}=-\frac{2}{4}$$

4(으)로 나누면 4(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$a^{2}-\frac{5}{4}a=-\frac{2}{4}$$

2을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{-2}{4}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$a^{2}-\frac{5}{4}a=-\frac{1}{2}$$

x 항의 계수인 -\frac{5}{4}을(를) 2(으)로 나눠서 -\frac{5}{8}을(를) 구합니다. 그런 다음 -\frac{5}{8}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$a^{2}-\frac{5}{4}a+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}=-\frac{1}{2}+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 -\frac{5}{8}을(를) 제곱합니다.

$$a^{2}-\frac{5}{4}a+\frac{25}{64}=-\frac{1}{2}+\frac{25}{64}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 -\frac{1}{2}을(를) \frac{25}{64}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$a^{2}-\frac{5}{4}a+\frac{25}{64}=-\frac{7}{64}$$

인수 a^{2}-\frac{5}{4}a+\frac{25}{64}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(a-\frac{5}{8}\right)^{2}=-\frac{7}{64}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(a-\frac{5}{8}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{7}{64}}$$

단순화합니다.

$$a-\frac{5}{8}=\frac{\sqrt{7}i}{8} a-\frac{5}{8}=-\frac{\sqrt{7}i}{8}$$

수식의 양쪽에 \frac{5}{8}을(를) 더합니다.

$$a=\frac{5+\sqrt{7}i}{8} a=\frac{-\sqrt{7}i+5}{8}$$