다음을 풀어보세요: 3x+3=x^2+4x+5

$$3x+3= { x }^{ 2 } +4x+5$$

x에 대한 해 (complex solution)

$$x=\frac{-\sqrt{7}i-1}{2}\approx -0.5-1.322875656i$$

$$x=\frac{-1+\sqrt{7}i}{2}\approx -0.5+1.322875656i$$

근의 공식을 사용한 단계

양쪽 모두에서 x^{2}을(를) 뺍니다.

$$3x+3-x^{2}=4x+5$$

양쪽 모두에서 4x을(를) 뺍니다.

$$3x+3-x^{2}-4x=5$$

3x과(와) -4x을(를) 결합하여 -x(을)를 구합니다.

$$-x+3-x^{2}=5$$

양쪽 모두에서 5을(를) 뺍니다.

$$-x+3-x^{2}-5=0$$

3에서 5을(를) 빼고 -2을(를) 구합니다.

$$-x-2-x^{2}=0$$

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$-x^{2}-x-2=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 -1을(를) a로, -1을(를) b로, -2을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-1\right)\left(-2\right)}}{2\left(-1\right)}$$

-4에 -1을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+4\left(-2\right)}}{2\left(-1\right)}$$

4에 -2을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-8}}{2\left(-1\right)}$$

1을(를) -8에 추가합니다.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{-7}}{2\left(-1\right)}$$

-7의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{7}i}{2\left(-1\right)}$$

-1의 반대는 1입니다.

$$x=\frac{1±\sqrt{7}i}{2\left(-1\right)}$$

2에 -1을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{1±\sqrt{7}i}{-2}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{1±\sqrt{7}i}{-2}을(를) 풉니다. 1을(를) i\sqrt{7}에 추가합니다.

$$x=\frac{1+\sqrt{7}i}{-2}$$

1+i\sqrt{7}을(를) -2(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{-\sqrt{7}i-1}{2}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{1±\sqrt{7}i}{-2}을(를) 풉니다. 1에서 i\sqrt{7}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{-\sqrt{7}i+1}{-2}$$

1-i\sqrt{7}을(를) -2(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{-1+\sqrt{7}i}{2}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{-\sqrt{7}i-1}{2} x=\frac{-1+\sqrt{7}i}{2}$$

제곱 완성 단계

양쪽 모두에서 x^{2}을(를) 뺍니다.

$$3x+3-x^{2}=4x+5$$

양쪽 모두에서 4x을(를) 뺍니다.

$$3x+3-x^{2}-4x=5$$

3x과(와) -4x을(를) 결합하여 -x(을)를 구합니다.

$$-x+3-x^{2}=5$$

양쪽 모두에서 3을(를) 뺍니다.

$$-x-x^{2}=5-3$$

5에서 3을(를) 빼고 2을(를) 구합니다.

$$-x-x^{2}=2$$

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$-x^{2}-x=2$$

양쪽을 -1(으)로 나눕니다.

$$\frac{-x^{2}-x}{-1}=\frac{2}{-1}$$

-1(으)로 나누면 -1(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\left(-\frac{1}{-1}\right)x=\frac{2}{-1}$$

-1을(를) -1(으)로 나눕니다.

$$x^{2}+x=\frac{2}{-1}$$

2을(를) -1(으)로 나눕니다.

$$x^{2}+x=-2$$

x 항의 계수인 1을(를) 2(으)로 나눠서 \frac{1}{2}을(를) 구합니다. 그런 다음 \frac{1}{2}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-2+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 \frac{1}{2}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-2+\frac{1}{4}$$

-2을(를) \frac{1}{4}에 추가합니다.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{7}{4}$$

인수 x^{2}+x+\frac{1}{4}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{7}{4}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{7}{4}}$$

단순화합니다.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{7}i}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{7}i}{2}$$

수식의 양쪽에서 \frac{1}{2}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{-1+\sqrt{7}i}{2} x=\frac{-\sqrt{7}i-1}{2}$$