다음을 풀어보세요: 30x-3x^2=57

$$30 x - 3 x ^ { 2 } = 57$$

x에 대한 해

$$x=\sqrt{6}+5\approx 7.449489743$$

$$x=5-\sqrt{6}\approx 2.550510257$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$-3x^{2}+30x=57$$

수식의 양쪽에서 57을(를) 뺍니다.

$$-3x^{2}+30x-57=57-57$$

자신에서 57을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$-3x^{2}+30x-57=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 -3을(를) a로, 30을(를) b로, -57을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-30±\sqrt{30^{2}-4\left(-3\right)\left(-57\right)}}{2\left(-3\right)}$$

30을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-4\left(-3\right)\left(-57\right)}}{2\left(-3\right)}$$

-4에 -3을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900+12\left(-57\right)}}{2\left(-3\right)}$$

12에 -57을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-684}}{2\left(-3\right)}$$

900을(를) -684에 추가합니다.

$$x=\frac{-30±\sqrt{216}}{2\left(-3\right)}$$

216의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-30±6\sqrt{6}}{2\left(-3\right)}$$

2에 -3을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-30±6\sqrt{6}}{-6}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{-30±6\sqrt{6}}{-6}을(를) 풉니다. -30을(를) 6\sqrt{6}에 추가합니다.

$$x=\frac{6\sqrt{6}-30}{-6}$$

-30+6\sqrt{6}을(를) -6(으)로 나눕니다.

$$x=5-\sqrt{6}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{-30±6\sqrt{6}}{-6}을(를) 풉니다. -30에서 6\sqrt{6}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{-6\sqrt{6}-30}{-6}$$

-30-6\sqrt{6}을(를) -6(으)로 나눕니다.

$$x=\sqrt{6}+5$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=5-\sqrt{6} x=\sqrt{6}+5$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$-3x^{2}+30x=57$$

양쪽을 -3(으)로 나눕니다.

$$\frac{-3x^{2}+30x}{-3}=\frac{57}{-3}$$

-3(으)로 나누면 -3(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\frac{30}{-3}x=\frac{57}{-3}$$

30을(를) -3(으)로 나눕니다.

$$x^{2}-10x=\frac{57}{-3}$$

57을(를) -3(으)로 나눕니다.

$$x^{2}-10x=-19$$

x 항의 계수인 -10을(를) 2(으)로 나눠서 -5을(를) 구합니다. 그런 다음 -5의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}-10x+\left(-5\right)^{2}=-19+\left(-5\right)^{2}$$

-5을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}-10x+25=-19+25$$

-19을(를) 25에 추가합니다.

$$x^{2}-10x+25=6$$

인수 x^{2}-10x+25. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x-5\right)^{2}=6$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x-5\right)^{2}}=\sqrt{6}$$

단순화합니다.

$$x-5=\sqrt{6} x-5=-\sqrt{6}$$

수식의 양쪽에 5을(를) 더합니다.

$$x=\sqrt{6}+5 x=5-\sqrt{6}$$