다음을 풀어보세요: 30x+21x^2=3384

$$30 x + 21 x ^ { 2 } = 3384$$

x에 대한 해

$$x = -\frac{94}{7} = -13\frac{3}{7} \approx -13.428571429$$

$$x=12$$

그룹화를 통한 인수 분해 사용 단계

양쪽 모두에서 3384을(를) 뺍니다.

$$30x+21x^{2}-3384=0$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$10x+7x^{2}-1128=0$$

다항식을 표준 형식으로 재정렬합니다. 항을 최고 곱에서 최저 곱의 순으로 배치합니다.

$$7x^{2}+10x-1128=0$$

수식을 계산하려면 그룹화를 통해 왼쪽을 인수 분해합니다. 우선 왼쪽을 7x^{2}+ax+bx-1128(으)로 다시 작성해야 합니다. a 및 b를 찾으려면 해결할 시스템을 설정 하세요.

$$a+b=10 ab=7\left(-1128\right)=-7896$$

ab가 음수 이기 때문에 a 및 b에는 반대 기호가 있습니다. a+b이(가) 양수이므로 양수는 음수보다 큰 절대값을 가집니다. 제품 -7896을(를) 제공하는 모든 정수 쌍을 나열합니다.

$$-1,7896 -2,3948 -3,2632 -4,1974 -6,1316 -7,1128 -8,987 -12,658 -14,564 -21,376 -24,329 -28,282 -42,188 -47,168 -56,141 -84,94$$

각 쌍의 합계를 계산합니다.

$$-1+7896=7895 -2+3948=3946 -3+2632=2629 -4+1974=1970 -6+1316=1310 -7+1128=1121 -8+987=979 -12+658=646 -14+564=550 -21+376=355 -24+329=305 -28+282=254 -42+188=146 -47+168=121 -56+141=85 -84+94=10$$

이 해답은 합계 10이(가) 도출되는 쌍입니다.

$$a=-84 b=94$$

7x^{2}+10x-1128을(를) \left(7x^{2}-84x\right)+\left(94x-1128\right)(으)로 다시 작성합니다.

$$\left(7x^{2}-84x\right)+\left(94x-1128\right)$$

첫 번째 그룹 및 94에서 7x를 제한 합니다.

$$7x\left(x-12\right)+94\left(x-12\right)$$

분배 법칙을 사용하여 공통항 x-12을(를) 인수 분해합니다.

$$\left(x-12\right)\left(7x+94\right)$$

수식 솔루션을 찾으려면 x-12=0을 해결 하 고, 7x+94=0.

$$x=12 x=-\frac{94}{7}$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$21x^{2}+30x=3384$$

수식의 양쪽에서 3384을(를) 뺍니다.

$$21x^{2}+30x-3384=3384-3384$$

자신에서 3384을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$21x^{2}+30x-3384=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 21을(를) a로, 30을(를) b로, -3384을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-30±\sqrt{30^{2}-4\times 21\left(-3384\right)}}{2\times 21}$$

30을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-4\times 21\left(-3384\right)}}{2\times 21}$$

-4에 21을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-84\left(-3384\right)}}{2\times 21}$$

-84에 -3384을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900+284256}}{2\times 21}$$

900을(를) 284256에 추가합니다.

$$x=\frac{-30±\sqrt{285156}}{2\times 21}$$

285156의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-30±534}{2\times 21}$$

2에 21을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-30±534}{42}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{-30±534}{42}을(를) 풉니다. -30을(를) 534에 추가합니다.

$$x=\frac{504}{42}$$

504을(를) 42(으)로 나눕니다.

$$x=12$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{-30±534}{42}을(를) 풉니다. -30에서 534을(를) 뺍니다.

$$x=-\frac{564}{42}$$

6을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{-564}{42}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x=-\frac{94}{7}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=12 x=-\frac{94}{7}$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$21x^{2}+30x=3384$$

양쪽을 21(으)로 나눕니다.

$$\frac{21x^{2}+30x}{21}=\frac{3384}{21}$$

21(으)로 나누면 21(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\frac{30}{21}x=\frac{3384}{21}$$

3을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{30}{21}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x^{2}+\frac{10}{7}x=\frac{3384}{21}$$

3을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{3384}{21}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x^{2}+\frac{10}{7}x=\frac{1128}{7}$$

x 항의 계수인 \frac{10}{7}을(를) 2(으)로 나눠서 \frac{5}{7}을(를) 구합니다. 그런 다음 \frac{5}{7}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}+\frac{10}{7}x+\left(\frac{5}{7}\right)^{2}=\frac{1128}{7}+\left(\frac{5}{7}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 \frac{5}{7}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}+\frac{10}{7}x+\frac{25}{49}=\frac{1128}{7}+\frac{25}{49}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{1128}{7}을(를) \frac{25}{49}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x^{2}+\frac{10}{7}x+\frac{25}{49}=\frac{7921}{49}$$

인수 x^{2}+\frac{10}{7}x+\frac{25}{49}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x+\frac{5}{7}\right)^{2}=\frac{7921}{49}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{7}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{7921}{49}}$$

단순화합니다.

$$x+\frac{5}{7}=\frac{89}{7} x+\frac{5}{7}=-\frac{89}{7}$$

수식의 양쪽에서 \frac{5}{7}을(를) 뺍니다.

$$x=12 x=-\frac{94}{7}$$