다음을 풀어보세요: 30t=225(t+10)^2

$$30 t = 225 ( t + 10 ) ^ { 2 }$$

t에 대한 해

$$t=\frac{-149+\sqrt{299}i}{15}\approx -9.933333333+1.152774431i$$

$$t=\frac{-\sqrt{299}i-149}{15}\approx -9.933333333-1.152774431i$$

근의 공식을 사용한 단계

이항 정리 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}을(를) \left(t+10\right)^{2}을(를) 확장합니다.

$$30t=225\left(t^{2}+20t+100\right)$$

분배 법칙을 사용하여 225에 t^{2}+20t+100(을)를 곱합니다.

$$30t=225t^{2}+4500t+22500$$

양쪽 모두에서 225t^{2}을(를) 뺍니다.

$$30t-225t^{2}=4500t+22500$$

양쪽 모두에서 4500t을(를) 뺍니다.

$$30t-225t^{2}-4500t=22500$$

30t과(와) -4500t을(를) 결합하여 -4470t(을)를 구합니다.

$$-4470t-225t^{2}=22500$$

양쪽 모두에서 22500을(를) 뺍니다.

$$-4470t-225t^{2}-22500=0$$

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$-225t^{2}-4470t-22500=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 -225을(를) a로, -4470을(를) b로, -22500을(를) c로 치환합니다.

$$t=\frac{-\left(-4470\right)±\sqrt{\left(-4470\right)^{2}-4\left(-225\right)\left(-22500\right)}}{2\left(-225\right)}$$

-4470을(를) 제곱합니다.

$$t=\frac{-\left(-4470\right)±\sqrt{19980900-4\left(-225\right)\left(-22500\right)}}{2\left(-225\right)}$$

-4에 -225을(를) 곱합니다.

$$t=\frac{-\left(-4470\right)±\sqrt{19980900+900\left(-22500\right)}}{2\left(-225\right)}$$

900에 -22500을(를) 곱합니다.

$$t=\frac{-\left(-4470\right)±\sqrt{19980900-20250000}}{2\left(-225\right)}$$

19980900을(를) -20250000에 추가합니다.

$$t=\frac{-\left(-4470\right)±\sqrt{-269100}}{2\left(-225\right)}$$

-269100의 제곱근을 구합니다.

$$t=\frac{-\left(-4470\right)±30\sqrt{299}i}{2\left(-225\right)}$$

-4470의 반대는 4470입니다.

$$t=\frac{4470±30\sqrt{299}i}{2\left(-225\right)}$$

2에 -225을(를) 곱합니다.

$$t=\frac{4470±30\sqrt{299}i}{-450}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 t=\frac{4470±30\sqrt{299}i}{-450}을(를) 풉니다. 4470을(를) 30i\sqrt{299}에 추가합니다.

$$t=\frac{4470+30\sqrt{299}i}{-450}$$

4470+30i\sqrt{299}을(를) -450(으)로 나눕니다.

$$t=\frac{-\sqrt{299}i-149}{15}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 t=\frac{4470±30\sqrt{299}i}{-450}을(를) 풉니다. 4470에서 30i\sqrt{299}을(를) 뺍니다.

$$t=\frac{-30\sqrt{299}i+4470}{-450}$$

4470-30i\sqrt{299}을(를) -450(으)로 나눕니다.

$$t=\frac{-149+\sqrt{299}i}{15}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$t=\frac{-\sqrt{299}i-149}{15} t=\frac{-149+\sqrt{299}i}{15}$$

제곱 완성 단계

이항 정리 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}을(를) \left(t+10\right)^{2}을(를) 확장합니다.

$$30t=225\left(t^{2}+20t+100\right)$$

분배 법칙을 사용하여 225에 t^{2}+20t+100(을)를 곱합니다.

$$30t=225t^{2}+4500t+22500$$

양쪽 모두에서 225t^{2}을(를) 뺍니다.

$$30t-225t^{2}=4500t+22500$$

양쪽 모두에서 4500t을(를) 뺍니다.

$$30t-225t^{2}-4500t=22500$$

30t과(와) -4500t을(를) 결합하여 -4470t(을)를 구합니다.

$$-4470t-225t^{2}=22500$$

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$-225t^{2}-4470t=22500$$

양쪽을 -225(으)로 나눕니다.

$$\frac{-225t^{2}-4470t}{-225}=\frac{22500}{-225}$$

-225(으)로 나누면 -225(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$t^{2}+\left(-\frac{4470}{-225}\right)t=\frac{22500}{-225}$$

15을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{-4470}{-225}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$t^{2}+\frac{298}{15}t=\frac{22500}{-225}$$

22500을(를) -225(으)로 나눕니다.

$$t^{2}+\frac{298}{15}t=-100$$

x 항의 계수인 \frac{298}{15}을(를) 2(으)로 나눠서 \frac{149}{15}을(를) 구합니다. 그런 다음 \frac{149}{15}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$t^{2}+\frac{298}{15}t+\left(\frac{149}{15}\right)^{2}=-100+\left(\frac{149}{15}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 \frac{149}{15}을(를) 제곱합니다.

$$t^{2}+\frac{298}{15}t+\frac{22201}{225}=-100+\frac{22201}{225}$$

-100을(를) \frac{22201}{225}에 추가합니다.

$$t^{2}+\frac{298}{15}t+\frac{22201}{225}=-\frac{299}{225}$$

인수 t^{2}+\frac{298}{15}t+\frac{22201}{225}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(t+\frac{149}{15}\right)^{2}=-\frac{299}{225}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(t+\frac{149}{15}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{299}{225}}$$

단순화합니다.

$$t+\frac{149}{15}=\frac{\sqrt{299}i}{15} t+\frac{149}{15}=-\frac{\sqrt{299}i}{15}$$

수식의 양쪽에서 \frac{149}{15}을(를) 뺍니다.

$$t=\frac{-149+\sqrt{299}i}{15} t=\frac{-\sqrt{299}i-149}{15}$$