다음을 풀어보세요: 30+2x=4x^2

$$30 + 2 x = 4 x ^ { 2 }$$

x에 대한 해

$$x=3$$

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

그룹화를 통한 인수 분해 사용 단계

양쪽 모두에서 4x^{2}을(를) 뺍니다.

$$30+2x-4x^{2}=0$$

양쪽을 2(으)로 나눕니다.

$$15+x-2x^{2}=0$$

다항식을 표준 형식으로 재정렬합니다. 항을 최고 곱에서 최저 곱의 순으로 배치합니다.

$$-2x^{2}+x+15=0$$

수식을 계산하려면 그룹화를 통해 왼쪽을 인수 분해합니다. 우선 왼쪽을 -2x^{2}+ax+bx+15(으)로 다시 작성해야 합니다. a 및 b를 찾으려면 해결할 시스템을 설정 하세요.

$$a+b=1 ab=-2\times 15=-30$$

ab가 음수 이기 때문에 a 및 b에는 반대 기호가 있습니다. a+b이(가) 양수이므로 양수는 음수보다 큰 절대값을 가집니다. 제품 -30을(를) 제공하는 모든 정수 쌍을 나열합니다.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

각 쌍의 합계를 계산합니다.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

이 해답은 합계 1이(가) 도출되는 쌍입니다.

$$a=6 b=-5$$

-2x^{2}+x+15을(를) \left(-2x^{2}+6x\right)+\left(-5x+15\right)(으)로 다시 작성합니다.

$$\left(-2x^{2}+6x\right)+\left(-5x+15\right)$$

첫 번째 그룹 및 5에서 2x를 제한 합니다.

$$2x\left(-x+3\right)+5\left(-x+3\right)$$

분배 법칙을 사용하여 공통항 -x+3을(를) 인수 분해합니다.

$$\left(-x+3\right)\left(2x+5\right)$$

수식 솔루션을 찾으려면 -x+3=0을 해결 하 고, 2x+5=0.

$$x=3 x=-\frac{5}{2}$$

근의 공식을 사용한 단계

양쪽 모두에서 4x^{2}을(를) 뺍니다.

$$30+2x-4x^{2}=0$$

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$-4x^{2}+2x+30=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 -4을(를) a로, 2을(를) b로, 30을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\left(-4\right)\times 30}}{2\left(-4\right)}$$

2을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\left(-4\right)\times 30}}{2\left(-4\right)}$$

-4에 -4을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+16\times 30}}{2\left(-4\right)}$$

16에 30을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+480}}{2\left(-4\right)}$$

4을(를) 480에 추가합니다.

$$x=\frac{-2±\sqrt{484}}{2\left(-4\right)}$$

484의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-2±22}{2\left(-4\right)}$$

2에 -4을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-2±22}{-8}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{-2±22}{-8}을(를) 풉니다. -2을(를) 22에 추가합니다.

$$x=\frac{20}{-8}$$

4을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{20}{-8}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x=-\frac{5}{2}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{-2±22}{-8}을(를) 풉니다. -2에서 22을(를) 뺍니다.

$$x=-\frac{24}{-8}$$

-24을(를) -8(으)로 나눕니다.

$$x=3$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=-\frac{5}{2} x=3$$

제곱 완성 단계

양쪽 모두에서 4x^{2}을(를) 뺍니다.

$$30+2x-4x^{2}=0$$

양쪽 모두에서 30을(를) 뺍니다. 0에서 모든 항목을 뺀 결과는 해당 항목의 음수입니다.

$$2x-4x^{2}=-30$$

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$-4x^{2}+2x=-30$$

양쪽을 -4(으)로 나눕니다.

$$\frac{-4x^{2}+2x}{-4}=-\frac{30}{-4}$$

-4(으)로 나누면 -4(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\frac{2}{-4}x=-\frac{30}{-4}$$

2을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{2}{-4}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=-\frac{30}{-4}$$

2을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{-30}{-4}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=\frac{15}{2}$$

x 항의 계수인 -\frac{1}{2}을(를) 2(으)로 나눠서 -\frac{1}{4}을(를) 구합니다. 그런 다음 -\frac{1}{4}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{15}{2}+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 -\frac{1}{4}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{15}{2}+\frac{1}{16}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{15}{2}을(를) \frac{1}{16}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{121}{16}$$

인수 x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{121}{16}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{16}}$$

단순화합니다.

$$x-\frac{1}{4}=\frac{11}{4} x-\frac{1}{4}=-\frac{11}{4}$$

수식의 양쪽에 \frac{1}{4}을(를) 더합니다.

$$x=3 x=-\frac{5}{2}$$