다음을 풀어보세요: 3y^2+y-7=0

$$3 y ^ { 2 } + y - 7 = 0$$

y에 대한 해

$$y = \frac{\sqrt{85} - 1}{6} \approx 1.369924076$$

$$y=\frac{-\sqrt{85}-1}{6}\approx -1.70325741$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$3y^{2}+y-7=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 3을(를) a로, 1을(를) b로, -7을(를) c로 치환합니다.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 3\left(-7\right)}}{2\times 3}$$

1을(를) 제곱합니다.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 3\left(-7\right)}}{2\times 3}$$

-4에 3을(를) 곱합니다.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1-12\left(-7\right)}}{2\times 3}$$

-12에 -7을(를) 곱합니다.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1+84}}{2\times 3}$$

1을(를) 84에 추가합니다.

$$y=\frac{-1±\sqrt{85}}{2\times 3}$$

2에 3을(를) 곱합니다.

$$y=\frac{-1±\sqrt{85}}{6}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 y=\frac{-1±\sqrt{85}}{6}을(를) 풉니다. -1을(를) \sqrt{85}에 추가합니다.

$$y=\frac{\sqrt{85}-1}{6}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 y=\frac{-1±\sqrt{85}}{6}을(를) 풉니다. -1에서 \sqrt{85}을(를) 뺍니다.

$$y=\frac{-\sqrt{85}-1}{6}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$y=\frac{\sqrt{85}-1}{6} y=\frac{-\sqrt{85}-1}{6}$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$3y^{2}+y-7=0$$

수식의 양쪽에 7을(를) 더합니다.

$$3y^{2}+y-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

자신에서 -7을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$3y^{2}+y=-\left(-7\right)$$

0에서 -7을(를) 뺍니다.

$$3y^{2}+y=7$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$\frac{3y^{2}+y}{3}=\frac{7}{3}$$

3(으)로 나누면 3(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$y^{2}+\frac{1}{3}y=\frac{7}{3}$$

x 항의 계수인 \frac{1}{3}을(를) 2(으)로 나눠서 \frac{1}{6}을(를) 구합니다. 그런 다음 \frac{1}{6}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$y^{2}+\frac{1}{3}y+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{7}{3}+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 \frac{1}{6}을(를) 제곱합니다.

$$y^{2}+\frac{1}{3}y+\frac{1}{36}=\frac{7}{3}+\frac{1}{36}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{7}{3}을(를) \frac{1}{36}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$y^{2}+\frac{1}{3}y+\frac{1}{36}=\frac{85}{36}$$

인수 y^{2}+\frac{1}{3}y+\frac{1}{36}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(y+\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{85}{36}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(y+\frac{1}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{85}{36}}$$

단순화합니다.

$$y+\frac{1}{6}=\frac{\sqrt{85}}{6} y+\frac{1}{6}=-\frac{\sqrt{85}}{6}$$

수식의 양쪽에서 \frac{1}{6}을(를) 뺍니다.

$$y=\frac{\sqrt{85}-1}{6} y=\frac{-\sqrt{85}-1}{6}$$