다음을 풀어보세요: 3x-y=2;2x-y=3

$$3 x - y = 2 ; 2 x - y = 3$$

x, y에 대한 해

$$x=-1$$

$$y=-5$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$3x-y=2,2x-y=3$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$3x-y=2$$

수식의 양쪽에 y을(를) 더합니다.

$$3x=y+2$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{3}\left(y+2\right)$$

\frac{1}{3}에 y+2을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}$$

다른 수식 2x-y=3에서 \frac{2+y}{3}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$2\left(\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}\right)-y=3$$

2에 \frac{2+y}{3}을(를) 곱합니다.

$$\frac{2}{3}y+\frac{4}{3}-y=3$$

\frac{2y}{3}을(를) -y에 추가합니다.

$$-\frac{1}{3}y+\frac{4}{3}=3$$

수식의 양쪽에서 \frac{4}{3}을(를) 뺍니다.

$$-\frac{1}{3}y=\frac{5}{3}$$

양쪽에 -3을(를) 곱합니다.

$$y=-5$$

x=\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}에서 y을(를) -5(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=\frac{1}{3}\left(-5\right)+\frac{2}{3}$$

\frac{1}{3}에 -5을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-5+2}{3}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{2}{3}을(를) -\frac{5}{3}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=-1$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-1,y=-5$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$3x-y=2,2x-y=3$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&-1\\2&-1\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)에 대해 역행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬 수식은 행렬 곱 문제로 다시 쓸 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{3\left(-1\right)-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{3\left(-1\right)-\left(-2\right)}&\frac{3}{3\left(-1\right)-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-1\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2-3\\2\times 2-3\times 3\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-5\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=-1,y=-5$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$3x-y=2,2x-y=3$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 3x-y=2에서 2x-y=3을(를) 뺍니다.

$$3x-2x-y+y=2-3$$

-y을(를) y에 추가합니다. -y 및 y이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$3x-2x=2-3$$

3x을(를) -2x에 추가합니다.

$$x=2-3$$

2을(를) -3에 추가합니다.

$$x=-1$$

2x-y=3에서 x을(를) -1(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 y에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$2\left(-1\right)-y=3$$

2에 -1을(를) 곱합니다.

$$-2-y=3$$

수식의 양쪽에 2을(를) 더합니다.

$$-y=5$$

양쪽을 -1(으)로 나눕니다.

$$y=-5$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-1,y=-5$$