다음을 풀어보세요: 3x-5y=4;9x-2y=7

$$3 x - 5 y = 4 ; 9 x - 2 y = 7$$

x, y에 대한 해

$$x=\frac{9}{13}\approx 0.692307692$$

$$y=-\frac{5}{13}\approx -0.384615385$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$3x-5y=4,9x-2y=7$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$3x-5y=4$$

수식의 양쪽에 5y을(를) 더합니다.

$$3x=5y+4$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{3}\left(5y+4\right)$$

\frac{1}{3}에 5y+4을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}$$

다른 수식 9x-2y=7에서 \frac{5y+4}{3}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$9\left(\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}\right)-2y=7$$

9에 \frac{5y+4}{3}을(를) 곱합니다.

$$15y+12-2y=7$$

15y을(를) -2y에 추가합니다.

$$13y+12=7$$

수식의 양쪽에서 12을(를) 뺍니다.

$$13y=-5$$

양쪽을 13(으)로 나눕니다.

$$y=-\frac{5}{13}$$

x=\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}에서 y을(를) -\frac{5}{13}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=\frac{5}{3}\left(-\frac{5}{13}\right)+\frac{4}{3}$$

분자는 분자끼리 분모는 분모끼리 곱하여 \frac{5}{3}에 -\frac{5}{13}을(를) 곱합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=-\frac{25}{39}+\frac{4}{3}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{4}{3}을(를) -\frac{25}{39}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=\frac{9}{13}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{9}{13},y=-\frac{5}{13}$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$3x-5y=4,9x-2y=7$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 9\right)}&-\frac{-5}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 9\right)}\\-\frac{9}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 9\right)}&\frac{3}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{39}&\frac{5}{39}\\-\frac{3}{13}&\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{39}\times 4+\frac{5}{39}\times 7\\-\frac{3}{13}\times 4+\frac{1}{13}\times 7\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{13}\\-\frac{5}{13}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=\frac{9}{13},y=-\frac{5}{13}$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$3x-5y=4,9x-2y=7$$

3x 및 9x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 9을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 3을(를) 곱합니다.

$$9\times 3x+9\left(-5\right)y=9\times 4,3\times 9x+3\left(-2\right)y=3\times 7$$

단순화합니다.

$$27x-45y=36,27x-6y=21$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 27x-45y=36에서 27x-6y=21을(를) 뺍니다.

$$27x-27x-45y+6y=36-21$$

27x을(를) -27x에 추가합니다. 27x 및 -27x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-45y+6y=36-21$$

-45y을(를) 6y에 추가합니다.

$$-39y=36-21$$

36을(를) -21에 추가합니다.

$$-39y=15$$

양쪽을 -39(으)로 나눕니다.

$$y=-\frac{5}{13}$$

9x-2y=7에서 y을(를) -\frac{5}{13}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$9x-2\left(-\frac{5}{13}\right)=7$$

-2에 -\frac{5}{13}을(를) 곱합니다.

$$9x+\frac{10}{13}=7$$

수식의 양쪽에서 \frac{10}{13}을(를) 뺍니다.

$$9x=\frac{81}{13}$$

양쪽을 9(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{9}{13}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{9}{13},y=-\frac{5}{13}$$