다음을 풀어보세요: 3x-x^2-3x-10/1+(x-2/4)^2=0

$$3 x - \frac { x ^ { 2 } - 3 x - 10 } { 1 } + ( \frac { x - 2 } { 4 } ) ^ { 2 } = 0$$

x에 대한 해

$$x = \frac{4 \sqrt{286} + 46}{15} \approx 7.576409207$$

$$x=\frac{46-4\sqrt{286}}{15}\approx -1.443075873$$

근의 공식을 사용한 단계

모든 항목을 1로 나눈 결과는 해당 항목입니다.

$$3x-\left(x^{2}-3x-10\right)+\left(\frac{x-2}{4}\right)^{2}=0$$

x^{2}-3x-10의 반대수를 찾으려면 각 항의 반대수를 찾으세요.

$$3x-x^{2}+3x+10+\left(\frac{x-2}{4}\right)^{2}=0$$

3x과(와) 3x을(를) 결합하여 6x(을)를 구합니다.

$$6x-x^{2}+10+\left(\frac{x-2}{4}\right)^{2}=0$$

\frac{x-2}{4}을(를) 제곱하려면 분자와 분모를 모두 제곱한 다음 나누세요.

$$6x-x^{2}+10+\frac{\left(x-2\right)^{2}}{4^{2}}=0$$

식을 더하거나 빼려면 해당 식의 분모를 동일하게 맞추세요. 6x-x^{2}+10에 \frac{4^{2}}{4^{2}}을(를) 곱합니다.

$$\frac{\left(6x-x^{2}+10\right)\times 4^{2}}{4^{2}}+\frac{\left(x-2\right)^{2}}{4^{2}}=0$$

\frac{\left(6x-x^{2}+10\right)\times 4^{2}}{4^{2}} 및 \frac{\left(x-2\right)^{2}}{4^{2}}의 분모가 같으므로 분자를 더하여 이 둘을 더합니다.

$$\frac{\left(6x-x^{2}+10\right)\times 4^{2}+\left(x-2\right)^{2}}{4^{2}}=0$$

\left(6x-x^{2}+10\right)\times 4^{2}+\left(x-2\right)^{2}에서 곱하기를 합니다.

$$\frac{96x-16x^{2}+160+x^{2}-4x+4}{4^{2}}=0$$

96x-16x^{2}+160+x^{2}-4x+4의 동류항을 결합합니다.

$$\frac{92x-15x^{2}+164}{4^{2}}=0$$

4의 2제곱을 계산하여 16을(를) 구합니다.

$$\frac{92x-15x^{2}+164}{16}=0$$

92x-15x^{2}+164의 각 항을 16(으)로 나누어 \frac{23}{4}x-\frac{15}{16}x^{2}+\frac{41}{4}을(를) 얻습니다.

$$\frac{23}{4}x-\frac{15}{16}x^{2}+\frac{41}{4}=0$$

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$-\frac{15}{16}x^{2}+\frac{23}{4}x+\frac{41}{4}=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 -\frac{15}{16}을(를) a로, \frac{23}{4}을(를) b로, \frac{41}{4}을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-\frac{23}{4}±\sqrt{\left(\frac{23}{4}\right)^{2}-4\left(-\frac{15}{16}\right)\times \frac{41}{4}}}{2\left(-\frac{15}{16}\right)}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 \frac{23}{4}을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-\frac{23}{4}±\sqrt{\frac{529}{16}-4\left(-\frac{15}{16}\right)\times \frac{41}{4}}}{2\left(-\frac{15}{16}\right)}$$

-4에 -\frac{15}{16}을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\frac{23}{4}±\sqrt{\frac{529}{16}+\frac{15}{4}\times \frac{41}{4}}}{2\left(-\frac{15}{16}\right)}$$

분자는 분자끼리 분모는 분모끼리 곱하여 \frac{15}{4}에 \frac{41}{4}을(를) 곱합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=\frac{-\frac{23}{4}±\sqrt{\frac{529+615}{16}}}{2\left(-\frac{15}{16}\right)}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{529}{16}을(를) \frac{615}{16}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=\frac{-\frac{23}{4}±\sqrt{\frac{143}{2}}}{2\left(-\frac{15}{16}\right)}$$

\frac{143}{2}의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-\frac{23}{4}±\frac{\sqrt{286}}{2}}{2\left(-\frac{15}{16}\right)}$$

2에 -\frac{15}{16}을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\frac{23}{4}±\frac{\sqrt{286}}{2}}{-\frac{15}{8}}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{-\frac{23}{4}±\frac{\sqrt{286}}{2}}{-\frac{15}{8}}을(를) 풉니다. -\frac{23}{4}을(를) \frac{\sqrt{286}}{2}에 추가합니다.

$$x=\frac{\frac{\sqrt{286}}{2}-\frac{23}{4}}{-\frac{15}{8}}$$

-\frac{23}{4}+\frac{\sqrt{286}}{2}에 -\frac{15}{8}의 역수를 곱하여 -\frac{23}{4}+\frac{\sqrt{286}}{2}을(를) -\frac{15}{8}(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{46-4\sqrt{286}}{15}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{-\frac{23}{4}±\frac{\sqrt{286}}{2}}{-\frac{15}{8}}을(를) 풉니다. -\frac{23}{4}에서 \frac{\sqrt{286}}{2}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{-\frac{\sqrt{286}}{2}-\frac{23}{4}}{-\frac{15}{8}}$$

-\frac{23}{4}-\frac{\sqrt{286}}{2}에 -\frac{15}{8}의 역수를 곱하여 -\frac{23}{4}-\frac{\sqrt{286}}{2}을(를) -\frac{15}{8}(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{4\sqrt{286}+46}{15}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{46-4\sqrt{286}}{15} x=\frac{4\sqrt{286}+46}{15}$$

제곱 완성 단계

모든 항목을 1로 나눈 결과는 해당 항목입니다.

$$3x-\left(x^{2}-3x-10\right)+\left(\frac{x-2}{4}\right)^{2}=0$$

x^{2}-3x-10의 반대수를 찾으려면 각 항의 반대수를 찾으세요.

$$3x-x^{2}+3x+10+\left(\frac{x-2}{4}\right)^{2}=0$$

3x과(와) 3x을(를) 결합하여 6x(을)를 구합니다.

$$6x-x^{2}+10+\left(\frac{x-2}{4}\right)^{2}=0$$

\frac{x-2}{4}을(를) 제곱하려면 분자와 분모를 모두 제곱한 다음 나누세요.

$$6x-x^{2}+10+\frac{\left(x-2\right)^{2}}{4^{2}}=0$$

식을 더하거나 빼려면 해당 식의 분모를 동일하게 맞추세요. 6x-x^{2}+10에 \frac{4^{2}}{4^{2}}을(를) 곱합니다.

$$\frac{\left(6x-x^{2}+10\right)\times 4^{2}}{4^{2}}+\frac{\left(x-2\right)^{2}}{4^{2}}=0$$

\frac{\left(6x-x^{2}+10\right)\times 4^{2}}{4^{2}} 및 \frac{\left(x-2\right)^{2}}{4^{2}}의 분모가 같으므로 분자를 더하여 이 둘을 더합니다.

$$\frac{\left(6x-x^{2}+10\right)\times 4^{2}+\left(x-2\right)^{2}}{4^{2}}=0$$

\left(6x-x^{2}+10\right)\times 4^{2}+\left(x-2\right)^{2}에서 곱하기를 합니다.

$$\frac{96x-16x^{2}+160+x^{2}-4x+4}{4^{2}}=0$$

96x-16x^{2}+160+x^{2}-4x+4의 동류항을 결합합니다.

$$\frac{92x-15x^{2}+164}{4^{2}}=0$$

4의 2제곱을 계산하여 16을(를) 구합니다.

$$\frac{92x-15x^{2}+164}{16}=0$$

92x-15x^{2}+164의 각 항을 16(으)로 나누어 \frac{23}{4}x-\frac{15}{16}x^{2}+\frac{41}{4}을(를) 얻습니다.

$$\frac{23}{4}x-\frac{15}{16}x^{2}+\frac{41}{4}=0$$

양쪽 모두에서 \frac{41}{4}을(를) 뺍니다. 0에서 모든 항목을 뺀 결과는 해당 항목의 음수입니다.

$$\frac{23}{4}x-\frac{15}{16}x^{2}=-\frac{41}{4}$$

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$-\frac{15}{16}x^{2}+\frac{23}{4}x=-\frac{41}{4}$$

수식의 양쪽을 -\frac{15}{16}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$\frac{-\frac{15}{16}x^{2}+\frac{23}{4}x}{-\frac{15}{16}}=-\frac{\frac{41}{4}}{-\frac{15}{16}}$$

-\frac{15}{16}(으)로 나누면 -\frac{15}{16}(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\frac{\frac{23}{4}}{-\frac{15}{16}}x=-\frac{\frac{41}{4}}{-\frac{15}{16}}$$

\frac{23}{4}에 -\frac{15}{16}의 역수를 곱하여 \frac{23}{4}을(를) -\frac{15}{16}(으)로 나눕니다.

$$x^{2}-\frac{92}{15}x=-\frac{\frac{41}{4}}{-\frac{15}{16}}$$

-\frac{41}{4}에 -\frac{15}{16}의 역수를 곱하여 -\frac{41}{4}을(를) -\frac{15}{16}(으)로 나눕니다.

$$x^{2}-\frac{92}{15}x=\frac{164}{15}$$

x 항의 계수인 -\frac{92}{15}을(를) 2(으)로 나눠서 -\frac{46}{15}을(를) 구합니다. 그런 다음 -\frac{46}{15}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}-\frac{92}{15}x+\left(-\frac{46}{15}\right)^{2}=\frac{164}{15}+\left(-\frac{46}{15}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 -\frac{46}{15}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}-\frac{92}{15}x+\frac{2116}{225}=\frac{164}{15}+\frac{2116}{225}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{164}{15}을(를) \frac{2116}{225}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x^{2}-\frac{92}{15}x+\frac{2116}{225}=\frac{4576}{225}$$

인수 x^{2}-\frac{92}{15}x+\frac{2116}{225}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x-\frac{46}{15}\right)^{2}=\frac{4576}{225}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x-\frac{46}{15}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4576}{225}}$$

단순화합니다.

$$x-\frac{46}{15}=\frac{4\sqrt{286}}{15} x-\frac{46}{15}=-\frac{4\sqrt{286}}{15}$$

수식의 양쪽에 \frac{46}{15}을(를) 더합니다.

$$x=\frac{4\sqrt{286}+46}{15} x=\frac{46-4\sqrt{286}}{15}$$