다음을 풀어보세요: 3x(x+1)-(x-2)^2/2=(x+1)(x-1)+15

$$3 x ( x + 1 ) - \frac { ( x - 2 ) ^ { 2 } } { 2 } = ( x + 1 ) ( x - 1 ) + 15$$

x에 대한 해

$$x = -\frac{16}{3} = -5\frac{1}{3} \approx -5.333333333$$

$$x=2$$

그룹화를 통한 인수 분해 사용 단계

수식의 양쪽 모두에 2을(를) 곱합니다.

$$6x\left(x+1\right)-\left(x-2\right)^{2}=2\left(x+1\right)\left(x-1\right)+30$$

분배 법칙을 사용하여 6x에 x+1(을)를 곱합니다.

$$6x^{2}+6x-\left(x-2\right)^{2}=2\left(x+1\right)\left(x-1\right)+30$$

이항 정리 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}을(를) \left(x-2\right)^{2}을(를) 확장합니다.

$$6x^{2}+6x-\left(x^{2}-4x+4\right)=2\left(x+1\right)\left(x-1\right)+30$$

x^{2}-4x+4의 반대수를 찾으려면 각 항의 반대수를 찾으세요.

$$6x^{2}+6x-x^{2}+4x-4=2\left(x+1\right)\left(x-1\right)+30$$

6x^{2}과(와) -x^{2}을(를) 결합하여 5x^{2}(을)를 구합니다.

$$5x^{2}+6x+4x-4=2\left(x+1\right)\left(x-1\right)+30$$

6x과(와) 4x을(를) 결합하여 10x(을)를 구합니다.

$$5x^{2}+10x-4=2\left(x+1\right)\left(x-1\right)+30$$

분배 법칙을 사용하여 2에 x+1(을)를 곱합니다.

$$5x^{2}+10x-4=\left(2x+2\right)\left(x-1\right)+30$$

분배 법칙을 사용하여 2x+2에 x-1(을)를 곱하고 동류항을 결합합니다.

$$5x^{2}+10x-4=2x^{2}-2+30$$

-2과(와) 30을(를) 더하여 28을(를) 구합니다.

$$5x^{2}+10x-4=2x^{2}+28$$

양쪽 모두에서 2x^{2}을(를) 뺍니다.

$$5x^{2}+10x-4-2x^{2}=28$$

5x^{2}과(와) -2x^{2}을(를) 결합하여 3x^{2}(을)를 구합니다.

$$3x^{2}+10x-4=28$$

양쪽 모두에서 28을(를) 뺍니다.

$$3x^{2}+10x-4-28=0$$

-4에서 28을(를) 빼고 -32을(를) 구합니다.

$$3x^{2}+10x-32=0$$

수식을 계산하려면 그룹화를 통해 왼쪽을 인수 분해합니다. 우선 왼쪽을 3x^{2}+ax+bx-32(으)로 다시 작성해야 합니다. a 및 b를 찾으려면 해결할 시스템을 설정 하세요.

$$a+b=10 ab=3\left(-32\right)=-96$$

ab가 음수 이기 때문에 a 및 b에는 반대 기호가 있습니다. a+b이(가) 양수이므로 양수는 음수보다 큰 절대값을 가집니다. 제품 -96을(를) 제공하는 모든 정수 쌍을 나열합니다.

$$-1,96 -2,48 -3,32 -4,24 -6,16 -8,12$$

각 쌍의 합계를 계산합니다.

$$-1+96=95 -2+48=46 -3+32=29 -4+24=20 -6+16=10 -8+12=4$$

이 해답은 합계 10이(가) 도출되는 쌍입니다.

$$a=-6 b=16$$

3x^{2}+10x-32을(를) \left(3x^{2}-6x\right)+\left(16x-32\right)(으)로 다시 작성합니다.

$$\left(3x^{2}-6x\right)+\left(16x-32\right)$$

첫 번째 그룹 및 16에서 3x를 제한 합니다.

$$3x\left(x-2\right)+16\left(x-2\right)$$

분배 법칙을 사용하여 공통항 x-2을(를) 인수 분해합니다.

$$\left(x-2\right)\left(3x+16\right)$$

수식 솔루션을 찾으려면 x-2=0을 해결 하 고, 3x+16=0.

$$x=2 x=-\frac{16}{3}$$

근의 공식을 사용한 단계

수식의 양쪽 모두에 2을(를) 곱합니다.

$$6x\left(x+1\right)-\left(x-2\right)^{2}=2\left(x+1\right)\left(x-1\right)+30$$

분배 법칙을 사용하여 6x에 x+1(을)를 곱합니다.

$$6x^{2}+6x-\left(x-2\right)^{2}=2\left(x+1\right)\left(x-1\right)+30$$

이항 정리 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}을(를) \left(x-2\right)^{2}을(를) 확장합니다.

$$6x^{2}+6x-\left(x^{2}-4x+4\right)=2\left(x+1\right)\left(x-1\right)+30$$

x^{2}-4x+4의 반대수를 찾으려면 각 항의 반대수를 찾으세요.

$$6x^{2}+6x-x^{2}+4x-4=2\left(x+1\right)\left(x-1\right)+30$$

6x^{2}과(와) -x^{2}을(를) 결합하여 5x^{2}(을)를 구합니다.

$$5x^{2}+6x+4x-4=2\left(x+1\right)\left(x-1\right)+30$$

6x과(와) 4x을(를) 결합하여 10x(을)를 구합니다.

$$5x^{2}+10x-4=2\left(x+1\right)\left(x-1\right)+30$$

분배 법칙을 사용하여 2에 x+1(을)를 곱합니다.

$$5x^{2}+10x-4=\left(2x+2\right)\left(x-1\right)+30$$

분배 법칙을 사용하여 2x+2에 x-1(을)를 곱하고 동류항을 결합합니다.

$$5x^{2}+10x-4=2x^{2}-2+30$$

-2과(와) 30을(를) 더하여 28을(를) 구합니다.

$$5x^{2}+10x-4=2x^{2}+28$$

양쪽 모두에서 2x^{2}을(를) 뺍니다.

$$5x^{2}+10x-4-2x^{2}=28$$

5x^{2}과(와) -2x^{2}을(를) 결합하여 3x^{2}(을)를 구합니다.

$$3x^{2}+10x-4=28$$

양쪽 모두에서 28을(를) 뺍니다.

$$3x^{2}+10x-4-28=0$$

-4에서 28을(를) 빼고 -32을(를) 구합니다.

$$3x^{2}+10x-32=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 3을(를) a로, 10을(를) b로, -32을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 3\left(-32\right)}}{2\times 3}$$

10을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 3\left(-32\right)}}{2\times 3}$$

-4에 3을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-12\left(-32\right)}}{2\times 3}$$

-12에 -32을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+384}}{2\times 3}$$

100을(를) 384에 추가합니다.

$$x=\frac{-10±\sqrt{484}}{2\times 3}$$

484의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-10±22}{2\times 3}$$

2에 3을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-10±22}{6}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{-10±22}{6}을(를) 풉니다. -10을(를) 22에 추가합니다.

$$x=\frac{12}{6}$$

12을(를) 6(으)로 나눕니다.

$$x=2$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{-10±22}{6}을(를) 풉니다. -10에서 22을(를) 뺍니다.

$$x=-\frac{32}{6}$$

2을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{-32}{6}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x=-\frac{16}{3}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=2 x=-\frac{16}{3}$$

제곱 완성 단계

수식의 양쪽 모두에 2을(를) 곱합니다.

$$6x\left(x+1\right)-\left(x-2\right)^{2}=2\left(x+1\right)\left(x-1\right)+30$$

분배 법칙을 사용하여 6x에 x+1(을)를 곱합니다.

$$6x^{2}+6x-\left(x-2\right)^{2}=2\left(x+1\right)\left(x-1\right)+30$$

이항 정리 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}을(를) \left(x-2\right)^{2}을(를) 확장합니다.

$$6x^{2}+6x-\left(x^{2}-4x+4\right)=2\left(x+1\right)\left(x-1\right)+30$$

x^{2}-4x+4의 반대수를 찾으려면 각 항의 반대수를 찾으세요.

$$6x^{2}+6x-x^{2}+4x-4=2\left(x+1\right)\left(x-1\right)+30$$

6x^{2}과(와) -x^{2}을(를) 결합하여 5x^{2}(을)를 구합니다.

$$5x^{2}+6x+4x-4=2\left(x+1\right)\left(x-1\right)+30$$

6x과(와) 4x을(를) 결합하여 10x(을)를 구합니다.

$$5x^{2}+10x-4=2\left(x+1\right)\left(x-1\right)+30$$

분배 법칙을 사용하여 2에 x+1(을)를 곱합니다.

$$5x^{2}+10x-4=\left(2x+2\right)\left(x-1\right)+30$$

분배 법칙을 사용하여 2x+2에 x-1(을)를 곱하고 동류항을 결합합니다.

$$5x^{2}+10x-4=2x^{2}-2+30$$

-2과(와) 30을(를) 더하여 28을(를) 구합니다.

$$5x^{2}+10x-4=2x^{2}+28$$

양쪽 모두에서 2x^{2}을(를) 뺍니다.

$$5x^{2}+10x-4-2x^{2}=28$$

5x^{2}과(와) -2x^{2}을(를) 결합하여 3x^{2}(을)를 구합니다.

$$3x^{2}+10x-4=28$$

양쪽에 4을(를) 더합니다.

$$3x^{2}+10x=28+4$$

28과(와) 4을(를) 더하여 32을(를) 구합니다.

$$3x^{2}+10x=32$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$\frac{3x^{2}+10x}{3}=\frac{32}{3}$$

3(으)로 나누면 3(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\frac{10}{3}x=\frac{32}{3}$$

x 항의 계수인 \frac{10}{3}을(를) 2(으)로 나눠서 \frac{5}{3}을(를) 구합니다. 그런 다음 \frac{5}{3}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}+\frac{10}{3}x+\left(\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{32}{3}+\left(\frac{5}{3}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 \frac{5}{3}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}+\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=\frac{32}{3}+\frac{25}{9}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{32}{3}을(를) \frac{25}{9}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x^{2}+\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=\frac{121}{9}$$

인수 x^{2}+\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x+\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{121}{9}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{9}}$$

단순화합니다.

$$x+\frac{5}{3}=\frac{11}{3} x+\frac{5}{3}=-\frac{11}{3}$$

수식의 양쪽에서 \frac{5}{3}을(를) 뺍니다.

$$x=2 x=-\frac{16}{3}$$