다음을 풀어보세요: 3x^2-38x+32=0

$$3 x ^ { 2 } - 38 x + 32 = 0$$

x에 대한 해

$$x = \frac{\sqrt{265} + 19}{3} \approx 11.759606865$$

$$x=\frac{19-\sqrt{265}}{3}\approx 0.907059801$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$3x^{2}-38x+32=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 3을(를) a로, -38을(를) b로, 32을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{\left(-38\right)^{2}-4\times 3\times 32}}{2\times 3}$$

-38을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{1444-4\times 3\times 32}}{2\times 3}$$

-4에 3을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{1444-12\times 32}}{2\times 3}$$

-12에 32을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{1444-384}}{2\times 3}$$

1444을(를) -384에 추가합니다.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{1060}}{2\times 3}$$

1060의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±2\sqrt{265}}{2\times 3}$$

-38의 반대는 38입니다.

$$x=\frac{38±2\sqrt{265}}{2\times 3}$$

2에 3을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{38±2\sqrt{265}}{6}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{38±2\sqrt{265}}{6}을(를) 풉니다. 38을(를) 2\sqrt{265}에 추가합니다.

$$x=\frac{2\sqrt{265}+38}{6}$$

38+2\sqrt{265}을(를) 6(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{\sqrt{265}+19}{3}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{38±2\sqrt{265}}{6}을(를) 풉니다. 38에서 2\sqrt{265}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{38-2\sqrt{265}}{6}$$

38-2\sqrt{265}을(를) 6(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{19-\sqrt{265}}{3}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{\sqrt{265}+19}{3} x=\frac{19-\sqrt{265}}{3}$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$3x^{2}-38x+32=0$$

수식의 양쪽에서 32을(를) 뺍니다.

$$3x^{2}-38x+32-32=-32$$

자신에서 32을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$3x^{2}-38x=-32$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$\frac{3x^{2}-38x}{3}=-\frac{32}{3}$$

3(으)로 나누면 3(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}-\frac{38}{3}x=-\frac{32}{3}$$

x 항의 계수인 -\frac{38}{3}을(를) 2(으)로 나눠서 -\frac{19}{3}을(를) 구합니다. 그런 다음 -\frac{19}{3}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}-\frac{38}{3}x+\left(-\frac{19}{3}\right)^{2}=-\frac{32}{3}+\left(-\frac{19}{3}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 -\frac{19}{3}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}-\frac{38}{3}x+\frac{361}{9}=-\frac{32}{3}+\frac{361}{9}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 -\frac{32}{3}을(를) \frac{361}{9}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x^{2}-\frac{38}{3}x+\frac{361}{9}=\frac{265}{9}$$

인수 x^{2}-\frac{38}{3}x+\frac{361}{9}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x-\frac{19}{3}\right)^{2}=\frac{265}{9}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x-\frac{19}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{265}{9}}$$

단순화합니다.

$$x-\frac{19}{3}=\frac{\sqrt{265}}{3} x-\frac{19}{3}=-\frac{\sqrt{265}}{3}$$

수식의 양쪽에 \frac{19}{3}을(를) 더합니다.

$$x=\frac{\sqrt{265}+19}{3} x=\frac{19-\sqrt{265}}{3}$$