다음을 풀어보세요: 3x^2-32x+84=0

$$3 x ^ { 2 } - 32 x + 84 = 0$$

x에 대한 해

$$x=6$$

$$x = \frac{14}{3} = 4\frac{2}{3} \approx 4.666666667$$

그룹화를 통한 인수 분해 사용 단계

수식을 계산하려면 그룹화를 통해 왼쪽을 인수 분해합니다. 우선 왼쪽을 3x^{2}+ax+bx+84(으)로 다시 작성해야 합니다. a 및 b를 찾으려면 해결할 시스템을 설정 하세요.

$$a+b=-32 ab=3\times 84=252$$

ab은 양수 이기 때문에 a 및 b는 동일한 기호를가지고 있습니다. a+b은 음수 이기 때문에 a 및 b 모두 음수입니다. 제품 252을(를) 제공하는 모든 정수 쌍을 나열합니다.

$$-1,-252 -2,-126 -3,-84 -4,-63 -6,-42 -7,-36 -9,-28 -12,-21 -14,-18$$

각 쌍의 합계를 계산합니다.

$$-1-252=-253 -2-126=-128 -3-84=-87 -4-63=-67 -6-42=-48 -7-36=-43 -9-28=-37 -12-21=-33 -14-18=-32$$

이 해답은 합계 -32이(가) 도출되는 쌍입니다.

$$a=-18 b=-14$$

3x^{2}-32x+84을(를) \left(3x^{2}-18x\right)+\left(-14x+84\right)(으)로 다시 작성합니다.

$$\left(3x^{2}-18x\right)+\left(-14x+84\right)$$

첫 번째 그룹 및 -14에서 3x를 제한 합니다.

$$3x\left(x-6\right)-14\left(x-6\right)$$

분배 법칙을 사용하여 공통항 x-6을(를) 인수 분해합니다.

$$\left(x-6\right)\left(3x-14\right)$$

수식 솔루션을 찾으려면 x-6=0을 해결 하 고, 3x-14=0.

$$x=6 x=\frac{14}{3}$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$3x^{2}-32x+84=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 3을(를) a로, -32을(를) b로, 84을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{\left(-32\right)^{2}-4\times 3\times 84}}{2\times 3}$$

-32을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-4\times 3\times 84}}{2\times 3}$$

-4에 3을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-12\times 84}}{2\times 3}$$

-12에 84을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-1008}}{2\times 3}$$

1024을(를) -1008에 추가합니다.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{16}}{2\times 3}$$

16의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±4}{2\times 3}$$

-32의 반대는 32입니다.

$$x=\frac{32±4}{2\times 3}$$

2에 3을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{32±4}{6}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{32±4}{6}을(를) 풉니다. 32을(를) 4에 추가합니다.

$$x=\frac{36}{6}$$

36을(를) 6(으)로 나눕니다.

$$x=6$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{32±4}{6}을(를) 풉니다. 32에서 4을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{28}{6}$$

2을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{28}{6}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x=\frac{14}{3}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=6 x=\frac{14}{3}$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$3x^{2}-32x+84=0$$

수식의 양쪽에서 84을(를) 뺍니다.

$$3x^{2}-32x+84-84=-84$$

자신에서 84을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$3x^{2}-32x=-84$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$\frac{3x^{2}-32x}{3}=-\frac{84}{3}$$

3(으)로 나누면 3(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x=-\frac{84}{3}$$

-84을(를) 3(으)로 나눕니다.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x=-28$$

x 항의 계수인 -\frac{32}{3}을(를) 2(으)로 나눠서 -\frac{16}{3}을(를) 구합니다. 그런 다음 -\frac{16}{3}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x+\left(-\frac{16}{3}\right)^{2}=-28+\left(-\frac{16}{3}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 -\frac{16}{3}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x+\frac{256}{9}=-28+\frac{256}{9}$$

-28을(를) \frac{256}{9}에 추가합니다.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x+\frac{256}{9}=\frac{4}{9}$$

인수 x^{2}-\frac{32}{3}x+\frac{256}{9}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x-\frac{16}{3}\right)^{2}=\frac{4}{9}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x-\frac{16}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4}{9}}$$

단순화합니다.

$$x-\frac{16}{3}=\frac{2}{3} x-\frac{16}{3}=-\frac{2}{3}$$

수식의 양쪽에 \frac{16}{3}을(를) 더합니다.

$$x=6 x=\frac{14}{3}$$