다음을 풀어보세요: 3x^2-20x+1=0

$$3 x ^ { 2 } - 20 x + 1 = 0$$

x에 대한 해

$$x = \frac{\sqrt{97} + 10}{3} \approx 6.616285934$$

$$x=\frac{10-\sqrt{97}}{3}\approx 0.050380733$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$3x^{2}-20x+1=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 3을(를) a로, -20을(를) b로, 1을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{\left(-20\right)^{2}-4\times 3}}{2\times 3}$$

-20을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-4\times 3}}{2\times 3}$$

-4에 3을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-12}}{2\times 3}$$

400을(를) -12에 추가합니다.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{388}}{2\times 3}$$

388의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±2\sqrt{97}}{2\times 3}$$

-20의 반대는 20입니다.

$$x=\frac{20±2\sqrt{97}}{2\times 3}$$

2에 3을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{20±2\sqrt{97}}{6}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{20±2\sqrt{97}}{6}을(를) 풉니다. 20을(를) 2\sqrt{97}에 추가합니다.

$$x=\frac{2\sqrt{97}+20}{6}$$

20+2\sqrt{97}을(를) 6(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{\sqrt{97}+10}{3}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{20±2\sqrt{97}}{6}을(를) 풉니다. 20에서 2\sqrt{97}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{20-2\sqrt{97}}{6}$$

20-2\sqrt{97}을(를) 6(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{10-\sqrt{97}}{3}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{\sqrt{97}+10}{3} x=\frac{10-\sqrt{97}}{3}$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$3x^{2}-20x+1=0$$

수식의 양쪽에서 1을(를) 뺍니다.

$$3x^{2}-20x+1-1=-1$$

자신에서 1을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$3x^{2}-20x=-1$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$\frac{3x^{2}-20x}{3}=-\frac{1}{3}$$

3(으)로 나누면 3(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x=-\frac{1}{3}$$

x 항의 계수인 -\frac{20}{3}을(를) 2(으)로 나눠서 -\frac{10}{3}을(를) 구합니다. 그런 다음 -\frac{10}{3}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x+\left(-\frac{10}{3}\right)^{2}=-\frac{1}{3}+\left(-\frac{10}{3}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 -\frac{10}{3}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x+\frac{100}{9}=-\frac{1}{3}+\frac{100}{9}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 -\frac{1}{3}을(를) \frac{100}{9}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x+\frac{100}{9}=\frac{97}{9}$$

인수 x^{2}-\frac{20}{3}x+\frac{100}{9}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x-\frac{10}{3}\right)^{2}=\frac{97}{9}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x-\frac{10}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{97}{9}}$$

단순화합니다.

$$x-\frac{10}{3}=\frac{\sqrt{97}}{3} x-\frac{10}{3}=-\frac{\sqrt{97}}{3}$$

수식의 양쪽에 \frac{10}{3}을(를) 더합니다.

$$x=\frac{\sqrt{97}+10}{3} x=\frac{10-\sqrt{97}}{3}$$