다음을 풀어보세요: 3x^2=19x+14

$$3 x ^ { 2 } = 19 x + 14$$

x에 대한 해

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0.666666667$$

$$x=7$$

그룹화를 통한 인수 분해 사용 단계

양쪽 모두에서 19x을(를) 뺍니다.

$$3x^{2}-19x=14$$

양쪽 모두에서 14을(를) 뺍니다.

$$3x^{2}-19x-14=0$$

수식을 계산하려면 그룹화를 통해 왼쪽을 인수 분해합니다. 우선 왼쪽을 3x^{2}+ax+bx-14(으)로 다시 작성해야 합니다. a 및 b를 찾으려면 해결할 시스템을 설정 하세요.

$$a+b=-19 ab=3\left(-14\right)=-42$$

ab가 음수 이기 때문에 a 및 b에는 반대 기호가 있습니다. a+b 음수 이기 때문에 음수 값은 양수 보다 더 큰 절대값을 가집니다. 제품 -42을(를) 제공하는 모든 정수 쌍을 나열합니다.

$$1,-42 2,-21 3,-14 6,-7$$

각 쌍의 합계를 계산합니다.

$$1-42=-41 2-21=-19 3-14=-11 6-7=-1$$

이 해답은 합계 -19이(가) 도출되는 쌍입니다.

$$a=-21 b=2$$

3x^{2}-19x-14을(를) \left(3x^{2}-21x\right)+\left(2x-14\right)(으)로 다시 작성합니다.

$$\left(3x^{2}-21x\right)+\left(2x-14\right)$$

첫 번째 그룹 및 2에서 3x를 제한 합니다.

$$3x\left(x-7\right)+2\left(x-7\right)$$

분배 법칙을 사용하여 공통항 x-7을(를) 인수 분해합니다.

$$\left(x-7\right)\left(3x+2\right)$$

수식 솔루션을 찾으려면 x-7=0을 해결 하 고, 3x+2=0.

$$x=7 x=-\frac{2}{3}$$

근의 공식을 사용한 단계

양쪽 모두에서 19x을(를) 뺍니다.

$$3x^{2}-19x=14$$

양쪽 모두에서 14을(를) 뺍니다.

$$3x^{2}-19x-14=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 3을(를) a로, -19을(를) b로, -14을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{\left(-19\right)^{2}-4\times 3\left(-14\right)}}{2\times 3}$$

-19을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-4\times 3\left(-14\right)}}{2\times 3}$$

-4에 3을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-12\left(-14\right)}}{2\times 3}$$

-12에 -14을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361+168}}{2\times 3}$$

361을(를) 168에 추가합니다.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{529}}{2\times 3}$$

529의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±23}{2\times 3}$$

-19의 반대는 19입니다.

$$x=\frac{19±23}{2\times 3}$$

2에 3을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{19±23}{6}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{19±23}{6}을(를) 풉니다. 19을(를) 23에 추가합니다.

$$x=\frac{42}{6}$$

42을(를) 6(으)로 나눕니다.

$$x=7$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{19±23}{6}을(를) 풉니다. 19에서 23을(를) 뺍니다.

$$x=-\frac{4}{6}$$

2을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{-4}{6}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x=-\frac{2}{3}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=7 x=-\frac{2}{3}$$

제곱 완성 단계

양쪽 모두에서 19x을(를) 뺍니다.

$$3x^{2}-19x=14$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$\frac{3x^{2}-19x}{3}=\frac{14}{3}$$

3(으)로 나누면 3(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}-\frac{19}{3}x=\frac{14}{3}$$

x 항의 계수인 -\frac{19}{3}을(를) 2(으)로 나눠서 -\frac{19}{6}을(를) 구합니다. 그런 다음 -\frac{19}{6}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}-\frac{19}{3}x+\left(-\frac{19}{6}\right)^{2}=\frac{14}{3}+\left(-\frac{19}{6}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 -\frac{19}{6}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}-\frac{19}{3}x+\frac{361}{36}=\frac{14}{3}+\frac{361}{36}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{14}{3}을(를) \frac{361}{36}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x^{2}-\frac{19}{3}x+\frac{361}{36}=\frac{529}{36}$$

인수 x^{2}-\frac{19}{3}x+\frac{361}{36}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x-\frac{19}{6}\right)^{2}=\frac{529}{36}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x-\frac{19}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{36}}$$

단순화합니다.

$$x-\frac{19}{6}=\frac{23}{6} x-\frac{19}{6}=-\frac{23}{6}$$

수식의 양쪽에 \frac{19}{6}을(를) 더합니다.

$$x=7 x=-\frac{2}{3}$$