다음을 풀어보세요: 3x^2+36x+81=0

$$3 x ^ { 2 } + 36 x + 81 = 0$$

x에 대한 해

$$x=-9$$

$$x=-3$$

그룹화를 통한 인수 분해 사용 단계

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$x^{2}+12x+27=0$$

수식을 계산하려면 그룹화를 통해 왼쪽을 인수 분해합니다. 우선 왼쪽을 x^{2}+ax+bx+27(으)로 다시 작성해야 합니다. a 및 b를 찾으려면 해결할 시스템을 설정 하세요.

$$a+b=12 ab=1\times 27=27$$

ab은 양수 이기 때문에 a 및 b는 동일한 기호를가지고 있습니다. a+b은 양수 이기 때문에 a 및 b 모두 양수입니다. 제품 27을(를) 제공하는 모든 정수 쌍을 나열합니다.

$$1,27 3,9$$

각 쌍의 합계를 계산합니다.

$$1+27=28 3+9=12$$

이 해답은 합계 12이(가) 도출되는 쌍입니다.

$$a=3 b=9$$

x^{2}+12x+27을(를) \left(x^{2}+3x\right)+\left(9x+27\right)(으)로 다시 작성합니다.

$$\left(x^{2}+3x\right)+\left(9x+27\right)$$

첫 번째 그룹 및 9에서 x를 제한 합니다.

$$x\left(x+3\right)+9\left(x+3\right)$$

분배 법칙을 사용하여 공통항 x+3을(를) 인수 분해합니다.

$$\left(x+3\right)\left(x+9\right)$$

수식 솔루션을 찾으려면 x+3=0을 해결 하 고, x+9=0.

$$x=-3 x=-9$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$3x^{2}+36x+81=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 3을(를) a로, 36을(를) b로, 81을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-36±\sqrt{36^{2}-4\times 3\times 81}}{2\times 3}$$

36을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-36±\sqrt{1296-4\times 3\times 81}}{2\times 3}$$

-4에 3을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-36±\sqrt{1296-12\times 81}}{2\times 3}$$

-12에 81을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-36±\sqrt{1296-972}}{2\times 3}$$

1296을(를) -972에 추가합니다.

$$x=\frac{-36±\sqrt{324}}{2\times 3}$$

324의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-36±18}{2\times 3}$$

2에 3을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-36±18}{6}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{-36±18}{6}을(를) 풉니다. -36을(를) 18에 추가합니다.

$$x=-\frac{18}{6}$$

-18을(를) 6(으)로 나눕니다.

$$x=-3$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{-36±18}{6}을(를) 풉니다. -36에서 18을(를) 뺍니다.

$$x=-\frac{54}{6}$$

-54을(를) 6(으)로 나눕니다.

$$x=-9$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=-3 x=-9$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$3x^{2}+36x+81=0$$

수식의 양쪽에서 81을(를) 뺍니다.

$$3x^{2}+36x+81-81=-81$$

자신에서 81을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$3x^{2}+36x=-81$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$\frac{3x^{2}+36x}{3}=-\frac{81}{3}$$

3(으)로 나누면 3(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\frac{36}{3}x=-\frac{81}{3}$$

36을(를) 3(으)로 나눕니다.

$$x^{2}+12x=-\frac{81}{3}$$

-81을(를) 3(으)로 나눕니다.

$$x^{2}+12x=-27$$

x 항의 계수인 12을(를) 2(으)로 나눠서 6을(를) 구합니다. 그런 다음 6의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}+12x+6^{2}=-27+6^{2}$$

6을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}+12x+36=-27+36$$

-27을(를) 36에 추가합니다.

$$x^{2}+12x+36=9$$

인수 x^{2}+12x+36. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x+6\right)^{2}=9$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x+6\right)^{2}}=\sqrt{9}$$

단순화합니다.

$$x+6=3 x+6=-3$$

수식의 양쪽에서 6을(를) 뺍니다.

$$x=-3 x=-9$$