다음을 풀어보세요: 3x^2+3x+9=0

$$3 x ^ { 2 } + 3 x + 9 = 0$$

x에 대한 해 (complex solution)

$$x=\frac{-1+\sqrt{11}i}{2}\approx -0.5+1.658312395i$$

$$x=\frac{-\sqrt{11}i-1}{2}\approx -0.5-1.658312395i$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$3x^{2}+3x+9=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 3을(를) a로, 3을(를) b로, 9을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 3\times 9}}{2\times 3}$$

3을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 3\times 9}}{2\times 3}$$

-4에 3을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-12\times 9}}{2\times 3}$$

-12에 9을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-108}}{2\times 3}$$

9을(를) -108에 추가합니다.

$$x=\frac{-3±\sqrt{-99}}{2\times 3}$$

-99의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-3±3\sqrt{11}i}{2\times 3}$$

2에 3을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-3±3\sqrt{11}i}{6}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{-3±3\sqrt{11}i}{6}을(를) 풉니다. -3을(를) 3i\sqrt{11}에 추가합니다.

$$x=\frac{-3+3\sqrt{11}i}{6}$$

-3+3i\sqrt{11}을(를) 6(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{-1+\sqrt{11}i}{2}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{-3±3\sqrt{11}i}{6}을(를) 풉니다. -3에서 3i\sqrt{11}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{-3\sqrt{11}i-3}{6}$$

-3-3i\sqrt{11}을(를) 6(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{-\sqrt{11}i-1}{2}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{-1+\sqrt{11}i}{2} x=\frac{-\sqrt{11}i-1}{2}$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$3x^{2}+3x+9=0$$

수식의 양쪽에서 9을(를) 뺍니다.

$$3x^{2}+3x+9-9=-9$$

자신에서 9을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$3x^{2}+3x=-9$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$\frac{3x^{2}+3x}{3}=-\frac{9}{3}$$

3(으)로 나누면 3(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\frac{3}{3}x=-\frac{9}{3}$$

3을(를) 3(으)로 나눕니다.

$$x^{2}+x=-\frac{9}{3}$$

-9을(를) 3(으)로 나눕니다.

$$x^{2}+x=-3$$

x 항의 계수인 1을(를) 2(으)로 나눠서 \frac{1}{2}을(를) 구합니다. 그런 다음 \frac{1}{2}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-3+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 \frac{1}{2}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-3+\frac{1}{4}$$

-3을(를) \frac{1}{4}에 추가합니다.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{11}{4}$$

인수 x^{2}+x+\frac{1}{4}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{11}{4}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{11}{4}}$$

단순화합니다.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{11}i}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{11}i}{2}$$

수식의 양쪽에서 \frac{1}{2}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{-1+\sqrt{11}i}{2} x=\frac{-\sqrt{11}i-1}{2}$$