다음을 풀어보세요: 3x^2+2x+5=18

$$3 x ^ { 2 } + 2 x + 5 = 18$$

x에 대한 해

$$x = \frac{2 \sqrt{10} - 1}{3} \approx 1.774851773$$

$$x=\frac{-2\sqrt{10}-1}{3}\approx -2.44151844$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$3x^{2}+2x+5=18$$

수식의 양쪽에서 18을(를) 뺍니다.

$$3x^{2}+2x+5-18=18-18$$

자신에서 18을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$3x^{2}+2x+5-18=0$$

5에서 18을(를) 뺍니다.

$$3x^{2}+2x-13=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 3을(를) a로, 2을(를) b로, -13을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 3\left(-13\right)}}{2\times 3}$$

2을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 3\left(-13\right)}}{2\times 3}$$

-4에 3을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-12\left(-13\right)}}{2\times 3}$$

-12에 -13을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+156}}{2\times 3}$$

4을(를) 156에 추가합니다.

$$x=\frac{-2±\sqrt{160}}{2\times 3}$$

160의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-2±4\sqrt{10}}{2\times 3}$$

2에 3을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-2±4\sqrt{10}}{6}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{-2±4\sqrt{10}}{6}을(를) 풉니다. -2을(를) 4\sqrt{10}에 추가합니다.

$$x=\frac{4\sqrt{10}-2}{6}$$

-2+4\sqrt{10}을(를) 6(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{2\sqrt{10}-1}{3}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{-2±4\sqrt{10}}{6}을(를) 풉니다. -2에서 4\sqrt{10}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{-4\sqrt{10}-2}{6}$$

-2-4\sqrt{10}을(를) 6(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{-2\sqrt{10}-1}{3}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{2\sqrt{10}-1}{3} x=\frac{-2\sqrt{10}-1}{3}$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$3x^{2}+2x+5=18$$

수식의 양쪽에서 5을(를) 뺍니다.

$$3x^{2}+2x+5-5=18-5$$

자신에서 5을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$3x^{2}+2x=18-5$$

18에서 5을(를) 뺍니다.

$$3x^{2}+2x=13$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$\frac{3x^{2}+2x}{3}=\frac{13}{3}$$

3(으)로 나누면 3(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x=\frac{13}{3}$$

x 항의 계수인 \frac{2}{3}을(를) 2(으)로 나눠서 \frac{1}{3}을(를) 구합니다. 그런 다음 \frac{1}{3}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{13}{3}+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 \frac{1}{3}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{13}{3}+\frac{1}{9}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{13}{3}을(를) \frac{1}{9}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{40}{9}$$

인수 x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{40}{9}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{40}{9}}$$

단순화합니다.

$$x+\frac{1}{3}=\frac{2\sqrt{10}}{3} x+\frac{1}{3}=-\frac{2\sqrt{10}}{3}$$

수식의 양쪽에서 \frac{1}{3}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{2\sqrt{10}-1}{3} x=\frac{-2\sqrt{10}-1}{3}$$